Calcule Du f(P) em que:
f=x^2+x y+y^2, u é o versor de v=(2,1) e P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto P=(1,1) na direção do versor u associado a v=(2,1). O conteúdo aqui é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de f, do vetor unitário u e da definição de derivada direcional via produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos obter o gradiente de f, que é o vetor formado pelas derivadas parciais. Para f(x,y)=x2+xy+y2 temos:
∇f(x,y)=(∂f∂x,∂f∂y)=l(2x+y,;x+2yr)

Passo 3

Agora, precisamos do versor u na direção de v=(2,1). Calculamos a norma de v:
|v|=raiz2^2+1^2=raiz5
Logo,
u=v|v|=l(2raiz5,1raiz5r)

Passo 4

Em seguida, avaliamos o gradiente em P=(1,1):
∇f(1,1)=l(2·1+1,;1+2·1r)=(3,3)

Passo 5

Por fim, aplicamos a definição de derivada direcional: D_u f§=∇f§·u. Então
Duf(1,1)=(3,3)cdotl(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) =3·2+3·1raiz5=9raiz5

Resposta

9raiz5

Exercícios relacionados