Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada etercicio, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti–torário.
ointC(x^2-y^2) d x+x d y, onde C é o círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC (x^2 - y^2),dx + x,dy ao longo do círculo x^2+y^2=9, usando o Teorema de Green. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial (Teorema de Green) e vamos precisar transformar a integral de linha numa integral dupla sobre o disco de raio 3.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y) = x^2 - y^2 e Q(x,y) = x, então
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
vamos calcular as derivadas parciais: partial Qpartial x = 1 e partial Ppartial y = -2y. Logo, o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-2y) = 1 + 2y

Passo 3

Agora convertemos a integral dupla para coordenadas polares no disco Dcolon r<=3. Temos y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. Assim
integral duplaD (1+2y),dA = integral0^2piintegral0^3 l(1 + 2rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Dividimos em duas partes:
  1. integral0^2piintegral0^3 1cdot r,dr,dtheta = integral0^2pil[tfracr^22r]0^3dtheta = integral0^2pi tfrac92,dtheta = 9pi
  2. integral0^2piintegral0^3 2rsinthetacdot r,dr,dtheta = 2integral0^2pisintheta,dthetaintegral0^3r^2,dr Calculando cada parte temos integral0^3r^2,dr=9 e integral0^2pisintheta,dtheta=0, logo essa parcela vale zero.

Passo 5

Somando as duas partes, a integral dupla vale 9pi + 0 = 9pi.

Resposta

9pi

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