O comprimento da diagonal de uma caixa é de 1 metro. Encontre as dimensões x, y e z que fornecem o volume máximo da caixa.

Passo 1

O problema pede para maximizar o volume de uma caixa retangular com arestas x, y e z, sabendo que a diagonal satisfaz raizx^2+y^2+z^2=1. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função objetivo como V(x,y,z)=xyz e a restrição como phi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0.

Passo 3

Construímos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda)=xyz-lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)
e escrevemos as condições de otimalidade:
partialLpartial x=yz-2lambda x=0, partialLpartial y=xz-2lambda y=0, partialLpartial z=xy-2lambda z=0

Passo 4

Das três equações acima obtemos
yzx=2lambda, xzy=2lambda, xyz=2lambda
Como x, y e z são positivas (caixa com dimensões positivas), para igualar esses quocientes precisamos ter x=y=z.

Passo 5

Substituindo x=y=z na restrição x^2+y^2+z^2=1 fica
3x^2=1
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x=1raiz3
Portanto, também y=1raiz3 e z=1raiz3.

Resposta

As dimensões que maximizam o volume são x = y = z = tfrac1raiz3 metros.

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