O comprimento da diagonal de uma caixa é de 1 metro. Encontre as dimensões
e
que fornecem o volume máximo da caixa.
Passo 1
O problema pede para maximizar o volume de uma caixa retangular com arestas x, y e z, sabendo que a diagonal satisfaz
. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função objetivo como
e a restrição como
.
Passo 3
Construímos a Lagrangiana
e escrevemos as condições de otimalidade:
Passo 4
Das três equações acima obtemos
Como x, y e z são positivas (caixa com dimensões positivas), para igualar esses quocientes precisamos ter x=y=z.
Passo 5
Substituindo
na restrição
fica
logo
Portanto, também
e
.
Resposta
As dimensões que maximizam o volume são x = y = z =
metros.