Calcule Du f(x0, y0), sendo dados
f(x, y)=x y, (x0, y0)=(1,1) e u o versor de i+j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de uma função de duas variáveis, ou seja, calcular Duf(1,1) para f(x,y)=xy, no ponto (x0,y0)=(1,1), na direção do versor de i+j. Vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar para resolver.

Passo 2

Primeiro, encontramos o versor u a partir do vetor i+j=(1,1). A norma é | (1,1) |=raiz1^2+1^2=raiz2, logo
u=1raiz2(1,1)=gl(1raiz2,1raiz2gr)

Passo 3

Em seguida, calculamos o gradiente de f. Para f(x,y)=xy,
nabla f(x,y)=l( partial fpartial x,partial fpartial y r)=(y,x)

Passo 4

No ponto (1,1), fica
nabla f(1,1)=(1,1)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o versor:
Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdotu=(1,1)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)=1+1raiz2=raiz2

Resposta

raiz2

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