Determine o valor máximo de
sobre a curva de interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Temos a função objetivo
e a curva de interseção das superfícies
e
Vamos precisar de otimização com restrição: usar multiplicadores de Lagrange ou eliminar
e trabalhar apenas com
e
sob a condição do círculo.
Passo 2
Como
aparece apenas de forma explícita em
e está dado por
podemos substituí-lo em
para reduzir a dimensão do problema. Assim definimos
sujeito à restrição
Passo 3
Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: procuramos pontos críticos de
Derivando e igualando a zero:
Passo 4
Derivadas:
Passo 5
Analisamos dois casos:
Caso 1:
. Então resulta
Da restrição
Passo 6
Caso 2:
. Da restrição
temos
. Calculando
e
para cada um:
Para
:
Para
:
Passo 7
Comparando os valores obtidos
, o valor máximo é
, atingido em
.
Resposta
16