Determine o valor máximo de f(x, y, z)=6 x+z sobre a curva de interseção das superfícies x^2+y^2=4 e z=x^2-2 y^2.

Passo 1

Temos a função objetivo f(x,y,z)=6x+z e a curva de interseção das superfícies
x^2+y^2=4
e
z=x^2-2y^2
Vamos precisar de otimização com restrição: usar multiplicadores de Lagrange ou eliminar z e trabalhar apenas com x e y sob a condição do círculo.

Passo 2

Como z aparece apenas de forma explícita em f e está dado por z=x^2-2y^2, podemos substituí-lo em f para reduzir a dimensão do problema. Assim definimos
F(x,y)=6x+(x^2-2y^2)=x^2-2y^2+6x,
sujeito à restrição
g(x,y)=x^2+y^2-4=0

Passo 3

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: procuramos pontos críticos de
L(x,y,lambda)=x^2-2y^2+6x-lambda(x^2+y^2-4)
Derivando e igualando a zero:

Passo 4

Derivadas:
partial Lpartial x=2x+6-2lambda x=0Rightarrow x+3=lambda x,
partial Lpartial y=-4y-2lambda y=0Rightarrow (-4-2lambda)y=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-4)=0

Passo 5

Analisamos dois casos:
Caso 1: yneq0. Então resulta
-4-2lambda)=0Rightarrowlambda=-2 Substituindo em (x+3=lambda x
Da restrição x+3=-2x Rightarrow 3x+3=0 Rightarrow x=-1 vem x^2+y^2=4, ou seja y^2=3. Calculando y=pmraiz3:
f
z=x^2-2y^2=1-2cdot3=-5,

Passo 6

Caso 2: y=0. Da restrição x^2=4 temos x=pm2. Calculando z e f para cada um:
Para x=2:
z=2^2-2cdot0=4,
f=6cdot2+4=16
Para x=-2:
z=(-2)^2-0=4,
f=6(-2)+4=-8

Passo 7

Comparando os valores obtidos -11,16,-8, o valor máximo é 16, atingido em (x,y,z)=(2,0,4).

Resposta

16

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