Determine os valores extremos de
na região descrita
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função
sobre a região elíptica
. O conteúdo envolve otimização de funções num domínio restrito, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para identificar possíveis extremos na fronteira (além de checar pontos críticos no interior).
Passo 2
Como primeiro passo de verificação, calculamos o gradiente de
e vemos se há pontos críticos no interior da região (onde
). Temos
Como
Passo 3
Agora tratamos a fronteira
. Definimos
e aplicamos os multiplicadores:
Isso dá o sistema:
Dividindo as equações, obtemos
e daí
.
Passo 4
Substituímos
em
:
Logo
Passo 5
Finalmente, avaliamos
nos dois pontos. Para
:
Para
:
Assim, identificamos o máximo e o mínimo na fronteira do domínio.
Resposta
O valor mínimo de
é
em
e o valor máximo é
em
.