Determine os valores extremos de f na região descrita
f(x, y)=3 x+y x^2+2 y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função f(x,y)=3x+y sobre a região elíptica x^2+2y^2<=1. O conteúdo envolve otimização de funções num domínio restrito, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para identificar possíveis extremos na fronteira (além de checar pontos críticos no interior).

Passo 2

Como primeiro passo de verificação, calculamos o gradiente de f e vemos se há pontos críticos no interior da região (onde x^2+2y^2<1). Temos
nabla f=(3,1)
Como nabla fneq(0,0), não há pontos críticos no interior.

Passo 3

Agora tratamos a fronteira x^2+2y^2=1. Definimos g(x,y)=x^2+2y^2-1=0 e aplicamos os multiplicadores:
nabla f=lambdanabla g
Isso dá o sistema:
3=2lambda x, 1=4lambda y
Dividindo as equações, obtemos 3/(2x)=1/(4y) e daí x=6y.

Passo 4

Substituímos x=6y em x^2+2y^2=1:
(6y)^2+2y^2=1
36y^2+2y^2=1
38y^2=1
y^2=138, y=pm1raiz38
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x=6y=pm6raiz38

Passo 5

Finalmente, avaliamos f nos dois pontos. Para l(x,yr)=l(6/raiz38,1/raiz38r):
f=3cdot6raiz38+1raiz38=19raiz38
Para l(x,yr)=l(-6/raiz38,-1/raiz38r):
f=3cdotl(-6raiz38r)+l(-1raiz38r)=-19raiz38
Assim, identificamos o máximo e o mínimo na fronteira do domínio.

Resposta

O valor mínimo de f é -tfrac19raiz38 em (x,y)=(-6/raiz38,-1/raiz38) e o valor máximo é +tfrac19raiz38 em (x,y)=(6/raiz38,1/raiz38).

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