Considere a função
Mostre que
não possui derivada direcional em
na direção de um vetor
com
e
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa analisar a função $ f(x, y) $ definida da seguinte forma:
O objetivo é mostrar que essa função não possui derivada direcional no ponto
na direção de um vetor
onde
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e limites. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais fácil de acompanhar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional de uma função em um ponto. A derivada direcional de $ f $ no ponto
na direção do vetor
é definida por:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função $ f $ na direção do vetor
.
No nosso caso, queremos calcular essa derivada em
para
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição da derivada direcional para nossa função $ f $ no ponto
:
Sabemos que $ f(0, 0) $ precisa ser calculado. Vamos verificar:
Para
, temos
, então:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, precisamos entender como a função $ f $ se comporta para pontos próximos a
, ou seja, para
. Vamos analisar duas situações:
-
Se $ h a \cdot h b = 0 $: Isso ocorre se $ a = 0 $ ou $ b = 0 $. No entanto, nosso vetor
é tal que , então isso nunca acontece para $ h \neq 0 $. -
Caso contrário: Ou seja, quando $ h \neq 0 $ e $ ab \neq 0 $, temos $ h a \cdot h b = h^2 ab \neq 0 $. Portanto, $ f(h a, h b) = 1 $.
Portanto, para $ h \neq 0 $, $ f(h a, h b) = 1 $.
Passo 5
Substituindo na expressão da derivada direcional, temos:
Agora, precisamos calcular esse limite. Vamos ver o que acontece quando $ h $ se aproxima de zero.
Passo 6
Analisando o limite:
- Se $ h $ se aproxima de zero pela direita ($ h > 0 $),
. - Se $ h $ se aproxima de zero pela esquerda ($ h < 0 $),
.
Como os limites laterais não coincidem e, além disso, tendem ao infinito e menos infinito, respectivamente, o limite geral não existe.
Passo 7
Como o limite necessário para a derivada direcional não existe, concluímos que a função $ f $ não possui derivada direcional no ponto
na direção do vetor
com
e
.
Resposta
A função $ f $ não possui derivada direcional em
na direção do vetor
com
e
porque o limite necessário para a derivada direcional não existe.