Considere a função
Mostre que f(x, y)= x+y, & se x y=0 1, & caso contrário não possui derivada direcional em f na direção de um vetor (0,0) com v=(a, b) e a^2+b^2=1.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa analisar a função $ f(x, y) $ definida da seguinte forma:
f(x, y) á
O objetivo é mostrar que essa função não possui derivada direcional no ponto f(x, y)= x + y, & se xy = 0 1, & caso contrário na direção de um vetor (0,0) onde v = (a, b) e a^2 + b^2 = 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e limites. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais fácil de acompanhar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional de uma função em um ponto. A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção do vetor (x0, y0) é definida por:
v = (a, b)
Isso basicamente mede a taxa de variação da função $ f $ na direção do vetor Dvf(x0, y0) = limh to 0 f(x0 + h a, y0 + h b) - f(x0, y0)h .
No nosso caso, queremos calcular essa derivada em f para v.

Passo 3

Vamos aplicar a definição da derivada direcional para nossa função $ f $ no ponto f :
(0,0)
Sabemos que $ f(0, 0) $ precisa ser calculado. Vamos verificar:
Para Dvf(0,0) = limh to 0 f(0 + h a, 0 + h b) - f(0, 0)h = limh to 0 f(h a, h b) - f(0, 0)h , temos f(0, 0) , então:
(x, y) = (0,0)
Então, a expressão fica:
xy = 0

Passo 4

Agora, precisamos entender como a função $ f $ se comporta para pontos próximos a f , ou seja, para (0,0). Vamos analisar duas situações:
  1. Se $ h a \cdot h b = 0 $: Isso ocorre se $ a = 0 $ ou $ b = 0 $. No entanto, nosso vetor (h a, h b) é tal que h a cdot h b = 0 , então isso nunca acontece para $ h \neq 0 $.
  2. Caso contrário: Ou seja, quando $ h \neq 0 $ e $ ab \neq 0 $, temos $ h a \cdot h b = h^2 ab \neq 0 $. Portanto, $ f(h a, h b) = 1 $.
Portanto, para $ h \neq 0 $, $ f(h a, h b) = 1 $.

Passo 5

Substituindo na expressão da derivada direcional, temos:
Dvf(0,0) = limh to 0 1h
Agora, precisamos calcular esse limite. Vamos ver o que acontece quando $ h $ se aproxima de zero.

Passo 6

Analisando o limite:
limh to 0 1h
  • Se $ h $ se aproxima de zero pela direita ($ h > 0 $), h .
  • Se $ h $ se aproxima de zero pela esquerda ($ h < 0 $), h > 0 .
Como os limites laterais não coincidem e, além disso, tendem ao infinito e menos infinito, respectivamente, o limite geral não existe.

Passo 7

Como o limite necessário para a derivada direcional não existe, concluímos que a função $ f $ não possui derivada direcional no ponto f na direção do vetor (0,0) com v = (a, b) e a^2 + b^2 = 1.

Resposta

A função $ f $ não possui derivada direcional em f na direção do vetor (0,0) com v = (a, b) e a^2 + b^2 = 1 porque o limite necessário para a derivada direcional não existe.

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