Calcule as seguintes integrais:
\int_{-2}^{2}(|x|+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\bigl(\lvert x\rvert+1\bigr)\,dx
O conteúdo envolvido é a integração de uma função que envolve valor absoluto. Vamos usar
1. a linearidade da integral,
2. a definição de \lvert x\rvert em forma de função por partes,
3. e a propriedade de que podemos dividir a integral no ponto onde a definição muda ( x=0).

Passo 2

Escrevemos \lvert x\rvert como função por partes em [-2,2]:
\lvert x\rvert = \begin{cases} -x, & -2 \le x <0,\\[6pt] x, & 0 \le x \le 2. \end{cases}
Logo
\int_{-2}^{2}\bigl(\lvert x\rvert+1\bigr)\,dx =\int_{-2}^{0}(-x+1)\,dx \;+\;\int_{0}^{2}(x+1)\,dx.]

Passo 3

Calcular
\int_{-2}^{0}(-x+1)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int(-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2}, \quad \int1\,dx=x.
Portanto
\int_{-2}^{0}(-x+1)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^{2}}{2}+x\Bigr]_{-2}^{0} =\bigl(0+0\bigr)-\Bigl(-\tfrac{(-2)^{2}}{2}+(-2)\Bigr) =0-\bigl(-2-2\bigr) =4.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{2}(x+1)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, \quad \int1\,dx=x.
Logo
\int_{0}^{2}(x+1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+x\Bigr]_{0}^{2} =\bigl(2+2\bigr)-0 =4.

Passo 5

Somando as duas partes:
\int_{-2}^{2}(\lvert x\rvert+1)\,dx =4+4 =8.

Resposta

O valor da integral é 8.

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