Calcule de duas maneiras, usando frações parciais e o teorema de convolução, em (a), (b) e ©, (use convolução ou o 35) em (d)), uma função f(t) tal que L[f(t)](s)=F(s), nos seguintes casos:
F(s)=s(s^2+4)^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a função f(t) cuja transformada de Laplace é
F(s)=s(s^2+4)^2
O conteúdo envolve inversão de Laplace usando dois métodos: frações parciais e teorema da convolução.

Passo 2

Método 1 – frações parciais: escrevemos
s(s^2+4)^2=As+Bs^2+4+Cs+D(s^2+4)^2
Multiplicando por (s^2+4)^2 e comparando coeficientes, obtemos
As^3+Bs^2+(4A+C)s+(4B+D)=s
Igualando a cada grau de s, dá-se A=0, B=0, C=1, D=0.

Passo 3

Ainda no método de frações parciais, a forma final é
s(s^2+4)^2=s(s^2+4)^2
Reconhecemos a transformada conhecida
Ltsin(2t)(s)=4s(s^2+4)^2
Logo
s(s^2+4)^2=14,4s(s^2+4)^2=14,Ltsin(2t)(s)

Passo 4

Inversão pelo método 1: a partir disso segue que
f(t)=14,tsin(2t)

Passo 5

Método 2 – teorema da convolução: escrevemos
F(s)=ss^2+4cdot1s^2+4
Sabemos
Lcos(2t)(s)=ss^2+4,Ltfrac12sin(2t)(s)=1s^2+4

Passo 6

Pelo teorema da convolução,
f(t)=integral0^tcos(2tau)cdottfrac12sinl(2(t-tau)r),dtau
Usando identidades trigonométricas e integrando, chega-se a
f(t)=t4sin(2t)

Resposta

f(t)=t4sin(2t)

Exercícios relacionados