Calcule as eficiências de coleta para partículas com diâmetros iguais a 1,10,20,50, 80 , 100 e 120 \mu \mathrm{~m}, através do uso de uma câmara gravitacional com as seguintes dimensões: \mathrm{L}=10 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{H}=2 \mathrm{~m}, e velocidade do ar igual a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere que a viscosidade do ar é 1,8 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} e que as partículas contidas neste ar tem massa específica igual a 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Temos uma câmara de sedimentação gravitacional de comprimento L=10,m, altura H=2,m e velocidade do ar uniforme u=1,m/s. Queremos a eficiência de coleta \eta para partículas de diâmetros d=1,10,20,50,80,100,120, \mum, sabendo que a viscosidade do ar é \mu=1{,}8\times10^{-5},kg/( m\cdot s) e a densidade das partículas é \rho_p=2000,kg/ m^{3}.

Passo 2

Em regime de Stokes (partículas pequenas, fluxo laminar), a velocidade de assentamento \,v_s de uma partícula esférica é dada por
v_s = \frac{d^2\,(\rho_p-\rho_{\rm ar})\,g}{18\,\mu}
onde \rho_{\rm ar}\approx1{,}2,kg/ m^{3} é a densidade do ar e g=9{,}81,m/ s^{2} é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Conversonos os diâmetros para metros e definimos a constante
k = \frac{(\rho_p-\rho_{\rm ar})\,g}{18\,\mu} = \frac{(2000-1{,}2)\times9{,}81}{18\times1{,}8\times10^{-5}} \approx6{,}06\times10^{7}\,{\rm m^{-1}s^{-1}}
Logo \,v_s = k\,d^2, com d em metros.

Passo 4

Calculamos v_s para cada diâmetro d_i (em metros):
d (m) = 1\times10^{-6},\,10\times10^{-6},\,20\times10^{-6},\,50\times10^{-6},\,80\times10^{-6},\,100\times10^{-6},\,120\times10^{-6}.
Aplicando v_s =6{,}06\times10^{7}d^2, obtemos (em m/s): v_s(1\mu{\rm m})\approx6{,}06\times10^{-5} v_s(10\mu{\rm m})\approx6{,}06\times10^{-3} v_s(20\mu{\rm m})\approx2{,}42\times10^{-2} v_s(50\mu{\rm m})\approx1{,}52\times10^{-1} v_s(80\mu{\rm m})\approx3{,}88\times10^{-1} v_s(100\mu{\rm m})\approx6{,}06\times10^{-1} v_s(120\mu{\rm m})\approx8{,}72\times10^{-1}

Passo 5

A fração de partículas removidas pela sedimentação é
\eta = 1 - \exp\!\biggl(-\frac{v_s\,t}{H}\biggr) \quad\text{com}\quad t=\frac{L}{u}.
Como L/u=10/1=10,s, define-se o parâmetro
\alpha = \frac{v_s\,L}{u\,H} = \frac{v_s\times10}{2} =5\,v_s.
Então
\eta = 1 - e^{-\,5\,v_s}.

Passo 6

Substituindo cada v_s em \eta=1-e^{-5v_s}, obtemos: \eta(1\mu{\rm m})=1-e^{-5\times6{,}06\times10^{-5}}\approx0{,}00030 \eta(10\mu{\rm m})\approx0{,}0298 \eta(20\mu{\rm m})\approx0{,}114 \eta(50\mu{\rm m})\approx0{,}531 \eta(80\mu{\rm m})\approx0{,}856 \eta(100\mu{\rm m})\approx0{,}952 \eta(120\mu{\rm m})\approx0{,}987

Resposta

As eficiências de coleta são aproximadamente:
Para d=1, \mum: \eta=0{,}00030 (0,03 %)
Para d=10, \mum: \eta=0{,}0298 (2,98 %)
Para d=20, \mum: \eta=0{,}114 (11,4 %)
Para d=50, \mum: \eta=0{,}531 (53,1 %)
Para d=80, \mum: \eta=0{,}856 (85,6 %)
Para d=100, \mum: \eta=0{,}952 (95,2 %)
Para d=120, \mum: \eta=0{,}987 (98,7 %)

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