Mostre que se \hat{\mathbf{J}} é um operador momento angular, valem as relações:
\hat{\mathbf{J}}^{\mathbf{2}}=\frac{1}{2}\left(\hat{\mathbf{J}}_{+} \hat{\mathbf{J}}_{-}+\hat{\mathbf{J}}_{-} \hat{\mathbf{J}}_{+}\right)+\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}^{2}
onde: \hat{\mathbf{J}}_{+}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}+\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right) \quad, \quad \hat{\mathbf{J}}_{-}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}-\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right) e \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) são os operadores que representam as componentes cartesianas do operador $\hat{\mathbf{J}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para mostrar a identidade
\hat{\mathbf{J}}^{2}=\frac{1}{2}\big(\hat{\mathbf{J}}_{+}\hat{\mathbf{J}}_{-}+\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+}\big)+\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}.
  • Nos são dadas as definições das “ladder operators”:
\hat{\mathbf{J}}_{+}=\hat{\mathbf{J}}_{x}+\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{J}}_{y}, \qquad \hat{\mathbf{J}}_{-}=\hat{\mathbf{J}}_{x}-\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{J}}_{y},
e as componentes cartesianas \hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y},\hat{\mathbf{J}}_{z}.
  • Também usamos a definição padrão
\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat{\mathbf{J}}_{x}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{y}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}.

Passo 2

Breve explicação de operadores e notação que vou usar (passo didático):
  • Produtos de operadores em geral não comutam: para dois operadores A e B define-se o commutador
[A,B]=AB-BA.
  • Quando eu expandir produtos como (\hat{J}_x+\mathrm{i}\hat{J}_y)(\hat{J}_x-\mathrm{i}\hat{J}_y) devo manter a ordem dos fatores; quando aparecerem termos como \hat{J}_x\hat{J}_y e \hat{J}_y\hat{J}_x posso trocá‑los usando o commutador se for preciso.
  • A estratégia: calcular \hat{J}_+\hat{J}_- e \hat{J}_-\hat{J}_+, somá‑los e ver que o termo comutador cancela, deixando 2(\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2).

Passo 3

Calcular explicitamente \hat{J}_+\hat{J}_-:
\begin{aligned} \hat{J}_+\hat{J}_- &=(\hat{J}_x+\mathrm{i}\hat{J}_y)(\hat{J}_x-\mathrm{i}\hat{J}_y)\\[4pt] &=\hat{J}_x\hat{J}_x-\mathrm{i}\hat{J}_x\hat{J}_y+\mathrm{i}\hat{J}_y\hat{J}_x+\hat{J}_y\hat{J}_y\\[4pt] &=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}\big(\hat{J}_y\hat{J}_x-\hat{J}_x\hat{J}_y\big)\\[4pt] &=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}\,[\hat{J}_y,\hat{J}_x]. \end{aligned}
Aqui multiplicámos termo a termo e, ao juntar -\mathrm{i}\hat{J}_x\hat{J}_y+\mathrm{i}\hat{J}_y\hat{J}_x, escrevemos isso como \mathrm{i}(\hat{J}_y\hat{J}_x-\hat{J}_x\hat{J}_y)=\mathrm{i}[\hat{J}_y,\hat{J}_x].]

Passo 4

Calcular \hat{J}_-\hat{J}_+ de forma análoga:
\begin{aligned} \hat{J}_-\hat{J}_+ &=(\hat{J}_x-\mathrm{i}\hat{J}_y)(\hat{J}_x+\mathrm{i}\hat{J}_y)\\[4pt] &=\hat{J}_x^{2}+\mathrm{i}\hat{J}_x\hat{J}_y-\mathrm{i}\hat{J}_y\hat{J}_x+\hat{J}_y^{2}\\[4pt] &=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}\big(\hat{J}_x\hat{J}_y-\hat{J}_y\hat{J}_x\big)\\[4pt] &=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}\,[\hat{J}_x,\hat{J}_y]. \end{aligned}
Note que [\hat{J}_x,\hat{J}_y]=-\,[\hat{J}_y,\hat{J}_x].]

Passo 5

Somar as duas expressões e simplificar:
\begin{aligned} \hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_-\hat{J}_+ &=\big(\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}[\hat{J}_y,\hat{J}_x]\big) +\big(\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\mathrm{i}[\hat{J}_x,\hat{J}_y]\big)\\[6pt] &=2\big(\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}\big)+\mathrm{i}\big([\hat{J}_y,\hat{J}_x]+[\hat{J}_x,\hat{J}_y]\big). \end{aligned}
Mas [\hat{J}_y,\hat{J}_x]+[\hat{J}_x,\hat{J}_y]=0 (soma de opostos), logo
\hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_-\hat{J}_+=2\big(\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}\big).
Dividindo por 2 obtém‑se a identidade útil
\frac{1}{2}\big(\hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_-\hat{J}_+\big)=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}.]

Passo 6

Agora substituímos na definição de \hat{\mathbf{J}}^{2}:
\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat{J}_x^{2}+\hat{J}_y^{2}+\hat{J}_z^{2} =\frac{1}{2}\big(\hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_-\hat{J}_+\big)+\hat{J}_z^{2}.
Assim a identidade pedida fica provada.

Resposta

\hat{\mathbf{J}}^{2}=\dfrac{1}{2}\big(\hat{\mathbf{J}}_{+}\hat{\mathbf{J}}_{-}+\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+}\big)+\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}

Exercícios relacionados