Mostre que se
é um operador momento angular, valem as relações:
onde:
e
são os operadores que representam as componentes cartesianas do operador $\hat{\mathbf{J}}\
onde:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para mostrar a identidade
- Nos são dadas as definições das “ladder operators”:
e as componentes cartesianas
.
- Também usamos a definição padrão
Passo 2
Breve explicação de operadores e notação que vou usar (passo didático):
- Produtos de operadores em geral não comutam: para dois operadores
e define-se o commutador
- Quando eu expandir produtos como
devo manter a ordem dos fatores; quando aparecerem termos como e posso trocá‑los usando o commutador se for preciso. - A estratégia: calcular
e , somá‑los e ver que o termo comutador cancela, deixando .
Passo 3
Calcular explicitamente
:
Aqui multiplicámos termo a termo e, ao juntar
, escrevemos isso como
.]
Passo 4
Calcular
de forma análoga:
Note que
.]
Passo 5
Somar as duas expressões e simplificar:
Mas
(soma de opostos), logo
Dividindo por
obtém‑se a identidade útil
Passo 6
Agora substituímos na definição de
:
Assim a identidade pedida fica provada.