(**) Calcule a elevação de temperatura de um gás.
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio (
) ou oxigênio (
). A temperatura inicial está no intervalo em que muitos níveis de energia rotacionais e também muitos níveis de energia vibracionais são excitados. Você esquenta esse gás diatômico com um aquecedor elétrico, que injeta
de energia. De quanto é a elevação na temperatura do gás?
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio (
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados:
- Você tem
mol de um gás diatômico (por exemplo ou ). - Foi fornecida uma quantidade de energia
por um aquecedor elétrico. - O enunciado diz que a temperatura inicial está num intervalo em que muitos níveis rotacionais e muitos níveis vibracionais estão excitados — isto é, tanto os graus de liberdade rotacionais quanto os vibracionais podem ser tratados como plenamente excitados.
- A palavra “garrafa” sugere um recipiente rígido (volume aproximadamente constante). Vou usar a condição de volume constante para relacionar
e a variação de temperatura.
- Você tem
-
O que se pede:
- Calcular a elevação de temperatura
do gás após receber .
- Calcular a elevação de temperatura
Passo 2
Conceito físico necessário: Teorema da equipartição da energia e capacidade calorífica molar
- Equipartição (versão prática para gases clássicos): cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
por molécula, ou por mol (onde é a constante de Boltzmann e é a constante dos gases). - Para um gás diatômico, quando muitos níveis rotacionais e vibracionais estão excitados:
- graus de liberdade transacionais:
- graus de liberdade rotacionais:
(rotação em torno de dois eixos perpendiculares à ligação) - modos vibracionais: 1 modo vibracional, e cada modo vibracional contribui com duas “partes” quadráticas (energia cinética + energia potencial), portanto adiciona
graus de liberdade efetivos quando totalmente excitado
- graus de liberdade transacionais:
- Assim o número total de graus de liberdade (clássico) é
- A capacidade térmica molar a volume constante é dada por
Aqui tem unidades de , é número adimensional de graus de liberdade e é a constante dos gases.
Passo 3
Calcular
numericamente
- Usando
: - Tomando
, obtemos - Arredondando com razoável número de algarismos significativos:
Passo 4
Relação entre calor fornecido e variação de temperatura (condição de volume constante)
- Para um processo a volume constante em que toda a energia fornecida vai para a energia interna do gás:
- Isolando
: - Substituindo
, mol e : - Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados:
Passo 5
Observações, limitações e dica para prova
- A resposta usa o teorema da equipartição (modelo clássico), válido porque o enunciado diz explicitamente que muitos níveis rotacionais e vibracionais estão excitados. Se os níveis vibracionais não estivessem excitados, teríamos
e um maior (cerca de para os mesmos ). - Assumi que a garrafa é rígida (volume constante). Se o processo fosse a pressão constante, usaríamos
com , e o resultado seria diferente. - Para a prova: identifique primeiro bem os graus de liberdade que estão ativos (o enunciado costuma indicar isso) e escolha se o processo é a
constante ou constante antes de aplicar .