(**) Calcule a elevação de temperatura de um gás.
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio ( \mathrm{N}_{2} ) ou oxigênio ( \mathrm{O}_{2} ). A temperatura inicial está no intervalo em que muitos níveis de energia rotacionais e também muitos níveis de energia vibracionais são excitados. Você esquenta esse gás diatômico com um aquecedor elétrico, que injeta Q=580 \mathrm{~J} de energia. De quanto é a elevação na temperatura do gás?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • Você tem n=1 mol de um gás diatômico (por exemplo \mathrm{N}_2 ou \mathrm{O}_2).
    • Foi fornecida uma quantidade de energia Q=580\\ \mathrm{J} por um aquecedor elétrico.
    • O enunciado diz que a temperatura inicial está num intervalo em que muitos níveis rotacionais e muitos níveis vibracionais estão excitados — isto é, tanto os graus de liberdade rotacionais quanto os vibracionais podem ser tratados como plenamente excitados.
    • A palavra “garrafa” sugere um recipiente rígido (volume aproximadamente constante). Vou usar a condição de volume constante para relacionar Q e a variação de temperatura.
  • O que se pede:
    • Calcular a elevação de temperatura \Delta T do gás após receber Q=580\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Conceito físico necessário: Teorema da equipartição da energia e capacidade calorífica molar
  • Equipartição (versão prática para gases clássicos): cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}kT por molécula, ou \tfrac{1}{2}RT por mol (onde k é a constante de Boltzmann e R é a constante dos gases).
  • Para um gás diatômico, quando muitos níveis rotacionais e vibracionais estão excitados:
    • graus de liberdade transacionais: 3
    • graus de liberdade rotacionais: 2 (rotação em torno de dois eixos perpendiculares à ligação)
    • modos vibracionais: 1 modo vibracional, e cada modo vibracional contribui com duas “partes” quadráticas (energia cinética + energia potencial), portanto adiciona 2 graus de liberdade efetivos quando totalmente excitado
  • Assim o número total de graus de liberdade (clássico) é f = 3 + 2 + 2 = 7.
  • A capacidade térmica molar a volume constante é dada por C_V = \frac{f}{2}R.Aqui C_V tem unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, f é número adimensional de graus de liberdade e R é a constante dos gases.

Passo 3

Calcular C_V numericamente
  • Usando f=7: C_V = \frac{7}{2}R.
  • Tomando R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, obtemos C_V = 3{,}5\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} = 29{,}099\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Arredondando com razoável número de algarismos significativos: C_V \approx 29{,}10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Relação entre calor fornecido e variação de temperatura (condição de volume constante)
  • Para um processo a volume constante em que toda a energia fornecida vai para a energia interna do gás: Q = n\,C_V\,\Delta T.
  • Isolando \Delta T: \Delta T = \frac{Q}{n\,C_V}.
  • Substituindo Q=580\\ \mathrm{J}, n=1 mol e C_V \approx 29{,}099\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}: \Delta T = \frac{580}{1\times 29{,}099}\\ \mathrm{K} \approx 19{,}93\\ \mathrm{K}.
  • Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados: \Delta T \approx 20{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Observações, limitações e dica para prova
  • A resposta usa o teorema da equipartição (modelo clássico), válido porque o enunciado diz explicitamente que muitos níveis rotacionais e vibracionais estão excitados. Se os níveis vibracionais não estivessem excitados, teríamos f=5 e um \Delta T maior (cerca de 28\\ \mathrm{K} para os mesmos Q).
  • Assumi que a garrafa é rígida (volume constante). Se o processo fosse a pressão constante, usaríamos Q = n C_P \Delta T com C_P = C_V + R, e o resultado seria diferente.
  • Para a prova: identifique primeiro bem os graus de liberdade que estão ativos (o enunciado costuma indicar isso) e escolha se o processo é a V=constante ou P=constante antes de aplicar Q=nC\Delta T.

Resposta

\Delta T \approx 20{,}0\\ \mathrm{K}

Exercícios relacionados