(**) Em virtude de uma diferença de temperatura, são transferidos 100 J de energia para o ar em um recipiente rígido de 50 litros e para o hélio em outro recipiente de 50 litros, ambos inicialmente nas CNTP (condições normais de temperatura e pressão).
(a) Qual gás experimenta a maior elevação de temperatura?
R: O hélio (gás monoatômico) experimenta a maior elevação de temperatura.
(b) Qual a elevação de temperatura do gás hélio?
R: \Delta T \approx 3,6 \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Foi transferida energia Q=100\\ \mathrm{J} para o gás em cada recipiente (um com ar e outro com hélio).
  • Cada recipiente é rígido e tem volume V=50\\ \mathrm{L}.
  • Ambos os gases estão inicialmente em CNTP; usaremos T_{0}=273,15\\ \mathrm{K} e p_{0}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Recipientes rígidos implicam processo a volume constante (ou seja, W=0).
    Perguntas do enunciado:
    (a) Qual gás experimenta a maior elevação de temperatura?
    (b) Qual é a elevação de temperatura do hélio?

Passo 2

Vamos calcular quantas mols de gás há em cada recipiente usando a lei dos gases ideais. A lei dos gases ideais é
pV = n\mathcal{R}T,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols,
  • \mathcal{R} é a constante universal dos gases \mathcal{R}=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Transformando o volume e isolando n:
n=\dfrac{pV}{\mathcal{R}T}.
Substituindo p=p_{0}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=50\\ \mathrm{L}=0,05\\ \mathrm{m^{3}} e T=T_{0}=273,15\\ \mathrm{K}:
n=\dfrac{1,013\times10^{5}\cdot 0,05}{8,3145\cdot 273,15}.
Calculemos passo a passo:
1,013\times10^{5}\cdot 0,05 = 5\,065,
8,3145\cdot 273,15 \approx 2\,272,20,
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n\approx \dfrac{5\,065}{2\,272,20}\approx 2,23\\ \mathrm{mol}.
Portanto cada recipiente contém aproximadamente 2,23\\ \mathrm{mol} do gás.

Passo 3

Explicando a relação entre calor recebido e variação de temperatura: para um gás ideal em processo a volume constante, o trabalho é W=0, então o calor recebido vai inteiramente para a variação da energia interna:
Q=\Delta U.
Para um gás ideal monoatômico ou diatômico, a variação de energia interna pode ser escrita como
\Delta U = n C_{V}\,\Delta T,
onde C_{V} é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e \Delta T é a elevação de temperatura. Isolando \Delta T:
\Delta T = \dfrac{Q}{n C_{V}}.
Aqui n é o número de mols calculado no passo anterior.

Passo 4

Precisamos dos valores de C_{V} molares. Para gases ideais monoatômicos (como o hélio), a mecânica estatística/teoria dos gases diz que a energia interna por mol corresponde a \tfrac{3}{2}\mathcal{R}T, portanto
C_{V,\text{mono}}=\dfrac{3}{2}\mathcal{R}.
Para gases diatômicos (como o ar, aproximando nitrogênio e oxigênio como diatômicos a temperaturas próximas de CNTP), a contribuição é maior e
C_{V,\text{diat}}=\dfrac{5}{2}\mathcal{R}.
Intuição curta: cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}\mathcal{R} por mol; monoatômico tem 3 graus de liberdade translacionais, diatômico tem 3 translacionais + 2 rotações ativas → 5 graus efetivos nessa faixa de temperatura.

Passo 5

Aplicando a fórmula para o hélio (monoatômico). Usando
\Delta T_{\mathrm{He}}=\dfrac{Q}{n C_{V,\mathrm{He}}} =\dfrac{Q}{n\left(\tfrac{3}{2}\mathcal{R}\right)} =\dfrac{2Q}{3 n \mathcal{R}}.
Substituindo Q=100\\ \mathrm{J}, n\approx2,23\\ \mathrm{mol} e \mathcal{R}=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
\Delta T_{\mathrm{He}}=\dfrac{2\cdot 100}{3\cdot 2,23\cdot 8,3145}.
Calcule o denominador:
3\cdot 2,23\cdot 8,3145 \approx 55,64,
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\Delta T_{\mathrm{He}}\approx \dfrac{200}{55,64}\approx 3,595\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma prática para duas algarismos significativos:
\Delta T_{\mathrm{He}}\approx 3,6\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Para comparar, calculemos também a elevação para o ar (diatômico), usando
\Delta T_{\text{ar}}=\dfrac{Q}{n C_{V,\text{ar}}} =\dfrac{Q}{n\left(\tfrac{5}{2}\mathcal{R}\right)} =\dfrac{2Q}{5 n \mathcal{R}}.
Substituindo os mesmos valores numéricos:
\Delta T_{\text{ar}}=\dfrac{2\cdot 100}{5\cdot 2,23\cdot 8,3145} \approx \dfrac{200}{92,73}\approx 2,16\\ \mathrm{K}.
Comparando \Delta T_{\mathrm{He}}\approx 3,6\\ \mathrm{K} com \Delta T_{\text{ar}}\approx 2,16\\ \mathrm{K}, vemos que \Delta T_{\mathrm{He}}>\Delta T_{\text{ar}}. A razão entre elas é \dfrac{\Delta T_{\mathrm{He}}}{\Delta T_{\text{ar}}}=\dfrac{5}{3}\approx1,67.

Resposta

O hélio (gás monoatômico).
\Delta T \approx 3,6\\ \mathrm{K}

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