Calcule:
Encontre as séries de Taylor e Laurent
em $z_{0}=0.
Encontre as séries de Taylor e Laurent
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as séries de Taylor e Laurent de
em torno de
. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
Os quatro polos estão todos sobre o círculo
. Portanto:
- Em
a função é analítica (nenhum polo no disco aberto), logo existe expansão de Taylor (série em potências não negativas de ) com raio de convergência até o primeiro polo, isto é . - Para
podemos obter uma expansão em potências negativas de (série de Laurent válida para ).
O objetivo é obter explicitamente essas séries (a de Taylor parae a de Laurent para ).
Passo 2
Vamos preparar uma manipulação algébrica simples que facilita a expansão. Observe que
logo
Esta forma é muito conveniente porque nos permite usar a fórmula do somatório geométrico. Relembrando (fórmula fundamental que usaremos):
Aqui vamos aplicar esta fórmula com
quando
, e com
quando
.
Passo 3
Expansão para
(série de Taylor). Tomando
multiplicamos por
:
Portanto a expansão de Taylor em torno de
(válida para
) é
Passo 4
Interpretação e primeiros termos (para me acostumar com a série): da fórmula do passo anterior,
os coeficientes de
Os primeiros termos explícitos são
e a série converge para (|z|<1]. Essa é a série de Taylor (sem termos negativos).]
Passo 5
Expansão para
(série de Laurent). Para obter potências negativas, escrevemos a mesma expressão dividindo e reorganizando com potências de
. A partir de
divida numerador e denominador por
:
Agora use a série geométrica com
, válida quando
, isto é
:
Multiplicando,
Passo 6
Interpretação da série de Laurent e primeiros termos: a expansão obtida para
é
Escrevendo alguns termos:
que é uma série de Laurent com apenas potências negativas (nenhum termo de potência não-negativa) válida em
.