Calcule:
Encontre as séries de Taylor e Laurent \frac{4 z-1}{z^{4}-1} em $z_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as séries de Taylor e Laurent de
f(z)=\frac{4z-1}{z^{4}-1}
em torno de z_{0}=0. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
\text{Polos: } z^{4}-1=0\Rightarrow z=1,\,-1,\,i,\,-i.
Os quatro polos estão todos sobre o círculo |z|=1. Portanto:
  • Em |z|<1 a função é analítica (nenhum polo no disco aberto), logo existe expansão de Taylor (série em potências não negativas de z) com raio de convergência até o primeiro polo, isto é R=1.
  • Para |z|>1 podemos obter uma expansão em potências negativas de z (série de Laurent válida para |z|>1).
    O objetivo é obter explicitamente essas séries (a de Taylor para |z|<1 e a de Laurent para |z|>1).

Passo 2

Vamos preparar uma manipulação algébrica simples que facilita a expansão. Observe que
z^{4}-1=-(1-z^{4}),
logo
f(z)=\frac{4z-1}{z^{4}-1}=-\frac{4z-1}{1-z^{4}}=\frac{1-4z}{1-z^{4}}.
Esta forma é muito conveniente porque nos permite usar a fórmula do somatório geométrico. Relembrando (fórmula fundamental que usaremos):
\text{Se }|w|<1\text{, então }\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty} w^{k}.ã
Aqui vamos aplicar esta fórmula com w=z^{4} quando |z|<1, e com w=z^{-4} quando |z|>1.

Passo 3

Expansão para |z|<1 (série de Taylor). Tomando
\frac{1}{1-z^{4}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{4k}\qquad(\text{válido se }|z|<1),á
multiplicamos por 1-4z:
f(z)=\bigl(1-4z\bigr)\sum_{k=0}^{\infty} z^{4k}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{4k}-4\sum_{k=0}^{\infty} z^{4k+1}.
Portanto a expansão de Taylor em torno de 0 (válida para |z|<1) é
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(z^{4k}-4\,z^{4k+1}\bigr).

Passo 4

Interpretação e primeiros termos (para me acostumar com a série): da fórmula do passo anterior,
os coeficientes de z^{n}\) são \[a_{n}= \begin{cases} 1, & \text{se }n\equiv 0\pmod{4},\\[4pt] -4, & \text{se }n\equiv 1\pmod{4},\\[4pt] 0, & \text{se }n\equiv 2\text{ ou }3\pmod{4}. \end{cases}
Os primeiros termos explícitos são
f(z)=1-4z+0\cdot z^{2}+0\cdot z^{3}+z^{4}-4z^{5}+z^{8}-4z^{9}+\cdots
e a série converge para (|z|<1]. Essa é a série de Taylor (sem termos negativos).]

Passo 5

Expansão para |z|>1 (série de Laurent). Para obter potências negativas, escrevemos a mesma expressão dividindo e reorganizando com potências de z^{-1}. A partir de
f(z)=\frac{1-4z}{1-z^{4}},
divida numerador e denominador por z^{4}:
f(z)=\frac{z^{-4}-4z^{-3}}{z^{-4}-1}=\frac{4z^{-3}-z^{-4}}{1-z^{-4}}.
Agora use a série geométrica com w=z^{-4}, válida quando |z^{-4}|<1, isto é |z|>1:
\frac{1}{1-z^{-4}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{-4k}.
Multiplicando,
f(z)=\bigl(4z^{-3}-z^{-4}\bigr)\sum_{k=0}^{\infty} z^{-4k}=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(4z^{-(4k+3)}-z^{-(4k+4)}\bigr).

Passo 6

Interpretação da série de Laurent e primeiros termos: a expansão obtida para |z|>1 é
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(4z^{-(4k+3)}-z^{-(4k+4)}\bigr).
Escrevendo alguns termos:
f(z)=4z^{-3}-z^{-4}+4z^{-7}-z^{-8}+4z^{-11}-z^{-12}+\cdots,
que é uma série de Laurent com apenas potências negativas (nenhum termo de potência não-negativa) válida em |z|>1.

Resposta

\text{(para }|z|<1\text{) } \quad f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(z^{4k}-4z^{4k+1}\bigr)=1-4z+z^{4}-4z^{5}+z^{8}-4z^{9}+\cdots
\text{(para }|z|>1\text{) } \quad f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(4z^{-(4k+3)}-z^{-(4k+4)}\bigr)=4z^{-3}-z^{-4}+4z^{-7}-z^{-8}+\cdots

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