Calcule:
Calcule \int_{-\pi}^{0} t^{2} \delta\left(t^{2}-4\right) d t.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int_{-\pi}^{0} t^{2}\,\delta\bigl(t^{2}-4\bigr)\,dt.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função Dirac \delta aparece com o argumento t^{2}-4.
  • As raízes da equação t^{2}-4=0 são t=\pm 2.
  • O intervalo de integração é [-\pi,0]. Dentre as raízes, apenas t=-2 está dentro desse intervalo (pois -\pi<-2<0).
  • Vamos usar propriedades da distribuição \delta para funções compostas.

Passo 2

Propriedade principal que vamos usar (explique passo a passo): se g é uma função suave e g(t_i)=0 com raízes simples t_i, então
\delta\bigl(g(t)\bigr)=\sum_{i}\frac{\delta(t-t_i)}{\bigl|g'(t_i)\bigr|}.
Interpretação didática: perto de uma raiz t_i a função g se comporta como uma constante vezes (t-t_i), e a \delta “sai” dessa transformação dividida pelo fator da derivada em módulo. Exemplo simples e curto para fixar: \delta(a t)=\frac{1}{|a|}\delta(t) para a\neq 0 é um caso especial dessa regra.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso g(t)=t^{2}-4:
  • Calcule g'(t)=2t.
  • As raízes são t_1=2 e t_2=-2.
  • Os módulos das derivadas nas raízes são \bigl|g'(2)\bigr|=\bigl|2\cdot 2\bigr|=4 e \bigl|g'(-2)\bigr|=\bigl|2\cdot(-2)\bigr|=4.
Portanto
\delta\bigl(t^{2}-4\bigr)=\frac{1}{4}\,\delta(t-2)+\frac{1}{4}\,\delta(t+2).

Passo 4

Substituímos essa expressão na integral:
\int_{-\pi}^{0} t^{2}\,\delta\bigl(t^{2}-4\bigr)\,dt = \int_{-\pi}^{0} t^{2}\left(\frac{1}{4}\,\delta(t-2)+\frac{1}{4}\,\delta(t+2)\right)\,dt.
Como t=2 não está no intervalo [-\pi,0], o termo com \delta(t-2) não contribui. Só contribui o termo com \delta(t+2), porque t=-2 está no intervalo.
Então a integral reduz a
\frac{1}{4}\int_{-\pi}^{0} t^{2}\,\delta(t+2)\,dt.

Passo 5

Usamos a propriedade básica da delta: se a está no intervalo de integração, então
\int f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).
Aqui f(t)=t^{2} e a=-2 (que está no intervalo). Logo
\frac{1}{4}\int_{-\pi}^{0} t^{2}\,\delta(t+2)\,dt = \frac{1}{4}\cdot (-2)^{2}.
Calculemos (-2)^{2}=4, então o resultado é \frac{1}{4}\cdot 4 = 1.

Resposta

1

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