Calcule a energia armazenada num sistema de quatro cargas pontuais idênticas, Q=4 nC, situadas nos vértices de um quadrado de 1 m de lado. Qual é a energia armazenada no sistema quando só duas cargas estão colocadas e em vértices opostos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a energia armazenada em um sistema de cargas elétricas. Primeiro, temos quatro cargas iguais, cada uma com Q = 4 , nC, posicionadas nos vértices de um quadrado de lado 1 , m. Depois, vamos ver quanto dessa energia sobra quando só duas dessas cargas estão em vértices opostos.

Passo 2

Pra começar, é importante saber que a energia potencial elétrica armazenada em um sistema de cargas é calculada usando a fórmula:
U = k Q1 Q2r
onde:
- $ U $ é a energia potencial,
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $),
- $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.

Passo 3

No quadrado, temos quatro cargas nos vértices. Para calcular a energia total, precisamos considerar todas as combinações de pares de cargas. Em um quadrado:
  • Cada carga se conecta a 3 outras: duas adjacentes e uma diagonal.
  • Isso dá um total de 6 pares (já que cada par é contado uma vez).

Passo 4

Vamos identificar as distâncias:
  • Lado do quadrado: $ r = 1 , \mathrm{m} $
  • Diagonal do quadrado: Usando o Teorema de Pitágoras, $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $

Passo 5

Agora, calculamos a energia para cada par:
  • Pares adjacentes (lado): Temos 4 pares com $ r = 1 , \mathrm{m} $ r = 1 , m
    - Pares diagonais: Temos 2 pares com $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $
    Ulado = 4 times ( k Q^21 )

Passo 6

Substituindo os valores:
  • $ Q = 4 \times 10^{-9} , \mathrm{C} $
  • $ k = 8,988 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $
Calculamos cada parte:
Q = 4 times 10^-9 , C
k = 8,988 times 10^9 , N cdot m^2/C^2

Passo 7

Fazendo as contas:
Ulado = 4 times ( 8,988 times 10^9 times 16 times 10^-18 ) = 4 times 143,808 times 10^-9 = 575,232 times 10^-9 , J
Udiagonal = 2 times ( 8,988 times 10^9 times 16 times 10^-181,414 ) approx 2 times 101,859 times 10^-9 = 203,718 times 10^-9 , J

Passo 8

Somando as energias:
Utotal = 575,232 times 10^-9 + 203,718 times 10^-9 = 778,95 times 10^-9 , J
Utotal approx 7,79 times 10^-7 , J

Passo 9

Agora, para o segundo caso, com apenas duas cargas nos vértices opostos:
  • Temos só um par com $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $
r = raiz2 , m
Substituindo os valores:
U = k Q^2raiz2
U = 8,988 times 10^9 times (4 times 10^-9)^21,414 approx 101,859 times 10^-9 , J

Resposta

A energia armazenada no sistema com quatro cargas é aproximadamente $ 7,79 \times 10^{-7} , \mathrm{J} $ e, quando apenas duas cargas estão colocadas em vértices opostos, a energia armazenada é cerca de $ 1,02 \times 10^{-7} , \mathrm{J} $.

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