Calcule a energia armazenada num sistema de quatro cargas pontuais idênticas,
, situadas nos vértices de um quadrado de 1 m de lado. Qual é a energia armazenada no sistema quando só duas cargas estão colocadas e em vértices opostos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a energia armazenada em um sistema de cargas elétricas. Primeiro, temos quatro cargas iguais, cada uma com
, posicionadas nos vértices de um quadrado de lado
. Depois, vamos ver quanto dessa energia sobra quando só duas dessas cargas estão em vértices opostos.
Passo 2
Pra começar, é importante saber que a energia potencial elétrica armazenada em um sistema de cargas é calculada usando a fórmula:
onde:
- $ U $ é a energia potencial,
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $),
- $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 3
No quadrado, temos quatro cargas nos vértices. Para calcular a energia total, precisamos considerar todas as combinações de pares de cargas. Em um quadrado:
- Cada carga se conecta a 3 outras: duas adjacentes e uma diagonal.
- Isso dá um total de 6 pares (já que cada par é contado uma vez).
Passo 4
Vamos identificar as distâncias:
- Lado do quadrado: $ r = 1 , \mathrm{m} $
- Diagonal do quadrado: Usando o Teorema de Pitágoras, $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $
Passo 5
Agora, calculamos a energia para cada par:
- Pares adjacentes (lado): Temos 4 pares com $ r = 1 , \mathrm{m} $
- Pares diagonais: Temos 2 pares com $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $
Passo 6
Substituindo os valores:
- $ Q = 4 \times 10^{-9} , \mathrm{C} $
- $ k = 8,988 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $
Calculamos cada parte:
Passo 7
Fazendo as contas:
Passo 8
Somando as energias:
Passo 9
Agora, para o segundo caso, com apenas duas cargas nos vértices opostos:
- Temos só um par com $ r = \sqrt{2} , \mathrm{m} $
Substituindo os valores:
Resposta
A energia armazenada no sistema com quatro cargas é aproximadamente $ 7,79 \times 10^{-7} , \mathrm{J} $ e, quando apenas duas cargas estão colocadas em vértices opostos, a energia armazenada é cerca de $ 1,02 \times 10^{-7} , \mathrm{J} $.