Calcule a energia cinética de rotação de uma esfera sólida (momento de inércia \mathrm{I}=0,4 \mathrm{MR}^{2} ), com massa de 2,0 kg e raio de 0,1 \mathrm{~m}, girando a 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno de seu eixo central.

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética de rotação da esfera. Dados fornecidos:
  • momento de inércia: I=0,4\,M R^{2} (fornecido pelo enunciado),
  • massa: M=2,0\\ \text{kg},
  • raio: R=0,1\\ \text{m},
  • velocidade angular: \omega=20\\ \text{rad/s}.
O que se quer calcular: a energia cinética de rotação (em joules).

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a energia cinética de rotação de um corpo rígido em torno de seu eixo é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Explicando a fórmula:
  • K é a energia cinética de rotação (em joules, \text{J});
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação (em \text{kg}\cdot\text{m}^2);
  • \omega é a velocidade angular (em \text{rad/s}).
    A fórmula é análoga a K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}, só que com I no lugar de m e \omega no lugar de v.

Passo 3

Calcular primeiro o momento de inércia I usando I=0,4\,M R^{2}.
Calcule R^{2}:
R^{2}=(0,1\\ \text{m})^{2}=0,01\\ \text{m}^{2}.
Calcule M R^{2}:
M R^{2}=(2,0\\ \text{kg})\cdot(0,01\\ \text{m}^{2})=0,02\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
Agora I:
I=0,4\cdot 0,02\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}=0,008\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 4

Calcular \omega^{2}:
\omega^{2}=(20\\ \text{rad/s})^{2}=400\\ \text{rad}^{2}/\text{s}^{2}.
(obs.: radiano é adimensional, então a unidade final será \text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}^{2}=\text{J}.)
Agora aplicar K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}:
K=\tfrac{1}{2}\cdot 0,008\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot 400 = 0,004\cdot 400 = 1,6\\ \text{J}.

Passo 5

Verificação rápida (atalho útil na prova): como I=0,4MR^{2},
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}=0,2\,M R^{2}\omega^{2},
podendo calcular diretamente 0,2\cdot 2,0\cdot(0,1)^{2}\cdot 20^{2}=1,6\\ \text{J}. Isso confirma o resultado.

Resposta

1,6\\ \text{J}

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