Calcule a energia de dissociação do HI usando os seguintes dados do espectro vibracional. (3,0 pontos)
\mathrm{G}(\mathrm{v}), \mathrm{cm}^{-1}
1144,83
3374,90
5525,51
7596,66
9588,35
v
0
1
2
3
4
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia de dissociação do HI a partir dos valores experimentais dos níveis vibracionais G(v). Os dados fornecidos (peguei os números do enunciado) são os seguintes:
G(0)=1144{,}83\\ \text{cm}^{-1}
G(1)=3374{,}90\\ \text{cm}^{-1}
G(2)=5525{,}51\\ \text{cm}^{-1}
G(3)=7596{,}66\\ \text{cm}^{-1}
G(4)=9588{,}35\\ \text{cm}^{-1}
O que se pede é a energia necessária para dissociar a molécula partindo do estado vibracional v=0 (ou seja, D_0). Vou resolver isso passo a passo, explicando a teoria sempre que eu usar uma fórmula.
Passo 2
Conceito e método que vou usar (explicação didática e curta):
Para um diatômico anharmônico, os valores terminais vibracionais seguem (modelo de Dunham / expressão anharmónica de primeira ordem)
ou seja, \Delta G(v) diminui linearmente com v+1. A reta tem intercepto \omega_e em v+1=0 e declive -2\omega_e x_e.
O método de Birge–Sponer diz que a energia de dissociação a partir de v=0 pode ser obtida somando (ou integrando) essas diferenças \Delta G(v) desde v=0 até o nível em que \Delta G\to0. Com o modelo linear acima a soma/integral dá uma expressão fechada para D_0 (explicarei quando chegar lá).
Passo 3
Calcular as diferenças \Delta G(v)=G(v+1)-G(v) (faço conta explicada):
Perceba que \Delta G decresce quase linearmente com v, como prevê o modelo anharmônico.]
Passo 4
Ajuste linear de \Delta G em função de u=v+1. Vou ajustar a reta
\Delta G(u)=A + m\,u,
onde u=v+1. Pelo modelo físico, A=\omega_e e m=-2\omega_e x_e.
Dados: para u=1,2,3,4 temos \Delta G=\{2230{,}07,\;2150{,}61,\;2071{,}15,\;1991{,}69\}.
Faço os cálculos de regressão linear (mostrando passos essenciais):
Isto significa que há cerca de 29 níveis vibracionais (índice v=0,\dots,28 aproximadamente).
Passo 7
Calcular D_0 (energia de dissociação a partir de v=0) usando a soma/integral de Birge–Sponer.
Com o modelo quadrático para G(v) e a forma linear para \Delta G, a expressão analítica para D_0 em \text{cm}^{-1} é
Breve interpretação e checagem: o procedimento usou o modelo anharmônico de primeira ordem e extrapolação linear das diferenças \Delta G. Os números intermediários (valores de \omega_e e \omega_e x_e) foram obtidos diretamente dos dados experimentais; a principal fonte de erro prático é a extrapolação até \Delta G=0, mas o resultado está coerente com ordens de magnitude típicas para ligações HI.