Cálcule a energia de ligação total e a energia de ligação por nucleon para os elementos (i) 13^27 Al, (ii) 26^56 Fe e (iii) 79^198 Au.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de física nuclear! A gente precisa calcular a energia de ligação total e a energia de ligação por nucleon para três elementos diferentes: Alumínio-27 ( 13^27 Al), Ferro-56 ( 26^56 Fe) e Ouro-198 ( 79^198 Au). Para isso, vamos usar conceitos de massa de prótons, nêutrons e núcleos, além da famosa equação da energia de ligação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia de ligação. Em um núcleo, os prótons e nêutrons estão presos juntos por forças fortes. A energia de ligação é a energia necessária para separar completamente o núcleo em seus prótons e nêutrons constituintes. Ela nos dá uma ideia de quão estável é o núcleo.

Passo 3

A fórmula para calcular a energia de ligação total ( Eb) é:
Eb = (Z cdot mp + N cdot mn - mnúc<=o) cdot c^2 ú
Onde:
  • $ Z $ é o número de prótons,
  • $ N $ é o número de nêutrons,
  • $ m_p $ é a massa de um próton,
  • $ m_n $ é a massa de um nêutron,
  • $ m_{núcleo} $ é a massa do núcleo,
  • $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar as seguintes massas aproximadas:
  • Massa do próton, $ m_p = 1,007276 , u $
  • Massa do nêutron, $ m_n = 1,008665 , u $
  • 1 unidade de massa atômica (u) corresponde a $ 931,5 , MeV/c^2 $

Passo 5

Vamos começar com o primeiro elemento: Alumínio-27 ( 13^27 Al).
  • Número de prótons, $ Z = 13 $
  • Número de nêutrons, $ N = 27 - 13 = 14 $
  • Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 26,9815385 , u $ (valor aproximado)

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
Eb = (13 cdot 1,007276 + 14 cdot 1,008665 - 26,9815385) cdot 931,5 , MeV/c^2
Calculando dentro dos parênteses:
Eb = (13,094588 + 14,12231 - 26,9815385) cdot 931,5
Eb = (27,216898 - 26,9815385) cdot 931,5
Eb = 0,2353595 cdot 931,5
Eb approx 219,6 , MeV

Passo 7

Agora, para encontrar a energia de ligação por nucleon, dividimos a energia total pelo número de nucleons (27):
Energia de ligação por nuc<=on = 219,6 , MeV27 approx 8,13 , MeV/nuc<=on çã

Passo 8

Vamos repetir o mesmo processo para o Ferro-56 ( 26^56 Fe).
  • $ Z = 26 $
  • $ N = 56 - 26 = 30 $
  • Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 55,934942 , u $ (valor aproximado)

Passo 9

Aplicando na fórmula:
Eb = (26 cdot 1,007276 + 30 cdot 1,008665 - 55,934942) cdot 931,5
Eb = (26,189976 + 30,25995 - 55,934942) cdot 931,5
Eb = (56,449926 - 55,934942) cdot 931,5
Eb = 0,514984 cdot 931,5
Eb approx 479,1 , MeV

Passo 10

Energia de ligação por nucleon para o Ferro-56:
479,1 , MeV56 approx 8,56 , MeV/nuc<=on

Passo 11

Por fim, vamos calcular para o Ouro-198 ( 79^198 Au).
  • $ Z = 79 $
  • $ N = 198 - 79 = 119 $
  • Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 197,966769 , u $ (valor aproximado)

Passo 12

Aplicando na fórmula:
Eb = (79 cdot 1,007276 + 119 cdot 1,008665 - 197,966769) cdot 931,5
Eb = (79,575004 + 119,029735 - 197,966769) cdot 931,5
Eb = (198,604739 - 197,966769) cdot 931,5
Eb = 0,63797 cdot 931,5
Eb approx 594,2 , MeV

Passo 13

Energia de ligação por nucleon para o Ouro-198:
594,2 , MeV198 approx 3,00 , MeV/nuc<=on

Resposta

As energias de ligação total e por nucleon para cada elemento são:
  1. Alumínio-27 ( 13^27 Al):
    • Energia de ligação total: $ \approx 219,6 , MeV $
    • Energia de ligação por nucleon: $ \approx 8,13 , MeV/nucleon $
  2. Ferro-56 ( approx 219,6 , MeV ):
    • Energia de ligação total: $ \approx 479,1 , MeV $
    • Energia de ligação por nucleon: $ \approx 8,56 , MeV/nucleon $
  3. Ouro-198 ( approx 8,13 , MeV/nuc<=on ):
    • Energia de ligação total: $ \approx 594,2 , MeV $
    • Energia de ligação por nucleon: $ \approx 3,00 , MeV/nucleon $

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