Cálcule a energia de ligação total e a energia de ligação por nucleon para os elementos (i)
, (ii)
e (iii)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de física nuclear! A gente precisa calcular a energia de ligação total e a energia de ligação por nucleon para três elementos diferentes: Alumínio-27 (
), Ferro-56 (
) e Ouro-198 (
). Para isso, vamos usar conceitos de massa de prótons, nêutrons e núcleos, além da famosa equação da energia de ligação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é energia de ligação. Em um núcleo, os prótons e nêutrons estão presos juntos por forças fortes. A energia de ligação é a energia necessária para separar completamente o núcleo em seus prótons e nêutrons constituintes. Ela nos dá uma ideia de quão estável é o núcleo.
Passo 3
A fórmula para calcular a energia de ligação total (
) é:
Onde:
- $ Z $ é o número de prótons,
- $ N $ é o número de nêutrons,
- $ m_p $ é a massa de um próton,
- $ m_n $ é a massa de um nêutron,
- $ m_{núcleo} $ é a massa do núcleo,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 4
Para facilitar, vamos usar as seguintes massas aproximadas:
- Massa do próton, $ m_p = 1,007276 , u $
- Massa do nêutron, $ m_n = 1,008665 , u $
- 1 unidade de massa atômica (u) corresponde a $ 931,5 , MeV/c^2 $
Passo 5
Vamos começar com o primeiro elemento: Alumínio-27 (
).
- Número de prótons, $ Z = 13 $
- Número de nêutrons, $ N = 27 - 13 = 14 $
- Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 26,9815385 , u $ (valor aproximado)
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Calculando dentro dos parênteses:
Passo 7
Agora, para encontrar a energia de ligação por nucleon, dividimos a energia total pelo número de nucleons (27):
Passo 8
Vamos repetir o mesmo processo para o Ferro-56 (
).
- $ Z = 26 $
- $ N = 56 - 26 = 30 $
- Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 55,934942 , u $ (valor aproximado)
Passo 9
Aplicando na fórmula:
Passo 10
Energia de ligação por nucleon para o Ferro-56:
Passo 11
Por fim, vamos calcular para o Ouro-198 (
).
- $ Z = 79 $
- $ N = 198 - 79 = 119 $
- Massa do núcleo, $ m_{núcleo} = 197,966769 , u $ (valor aproximado)
Passo 12
Aplicando na fórmula:
Passo 13
Energia de ligação por nucleon para o Ouro-198:
Resposta
As energias de ligação total e por nucleon para cada elemento são:
-
Alumínio-27 (
): - Energia de ligação total: $ \approx 219,6 , MeV $
- Energia de ligação por nucleon: $ \approx 8,13 , MeV/nucleon $
-
Ferro-56 (
): - Energia de ligação total: $ \approx 479,1 , MeV $
- Energia de ligação por nucleon: $ \approx 8,56 , MeV/nucleon $
-
Ouro-198 (
): - Energia de ligação total: $ \approx 594,2 , MeV $
- Energia de ligação por nucleon: $ \approx 3,00 , MeV/nucleon $