QUESTÃO 5: Resolver as equações diferenciais exatas a seguir. (1,0 ponto)
2 xy^3 d x+y^2-3 x^2y^4 d y=0

Passo 1

Opa! Então a questão pede pra resolver a equação diferencial exata
2xy^3,dx ;+;y^2-3x^2y^4,dy ;=;0
Conteúdo: Equações diferenciais exatas.
O que vamos precisar:
  1. Identificar M(x,y)=2xy^3 e N(x,y)=y^2-3x^2y^4.
  2. Verificar a condição de exatidão partial Mpartial y=partial Npartial x.
  3. Achar uma função potencial Phi(x,y) tal que dPhi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Verificando se é exata:
  • Calcule partial Mpartial y:
M(x,y)=2x,y^-3 Rightarrow partial Mpartial y =2xcdot(-3),y^-4 =-6xy^4
  • Calcule partial Npartial x:
N(x,y)=y^2-3x^2y^4 =y^-2-3x^2,y^-4 Rightarrow partial Npartial x =-6x,y^-4 =-6xy^4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y) =2xy^3
Integramos em x:
Phi(x,y)=integral 2xy^3,dx =x^2y^3+h(y),
onde h(y) é uma “constante” em relação a x.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Phipartial y =-3x^2y^4+h'(y) deve ser igual a N(x,y)=y^2-3x^2y^4
Logo
-3x^2y^4+h'(y) =y^2-3x^2y^4 ;;Longrightarrow;; h'(y)=y^2y^4=1y^2
Integramos em y:
h(y)=integral 1y^2,dy =-1y

Passo 5

Então a função potencial completa é
Phi(x,y) =x^2y^3-1y
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
Phi(x,y)=C, com C constante.

Resposta

boxedx^2y^3-1y=C

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