5- Calcule a energia mímina que um sistema composto de N osciladores harmônicos quânticos desacoplados pode ter.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a energia mínima que um sistema composto de N osciladores harmônicos quânticos desacoplados pode ter.”\n
Informações relevantes que temos (explicitadas para não deixar nada subentendido):\n
  • O sistema é formado por N osciladores harmônicos quânticos. Cada oscilador tem coordenada x, momento p, massa m e frequência angular \omega. Se os osciladores não forem idênticos, vamos indicar a frequência do i-ésimo por \omega_i.\n
  • “Desacoplados” significa que não há termos de interação entre os osciladores: a energia total é soma das energias de cada oscilador.\n
  • O objetivo é achar a energia mínima possível (energia de estado fundamental) do sistema inteiro.\n
    Nada mais foi pedido (por exemplo, não foi preciso considerar temperatura, degenerações extras, ou acoplamentos). A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos começar analisando um único oscilador harmônico quântico: escrevemos seu Hamiltoniano (operador energia). O Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é
\hat H=\frac{\hat p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\hat x^{2}.
Explanação das notações: \hat x é o operador posição, \hat p é o operador momento canônico, m é a massa e \omega é a frequência angular do oscilador. Em mecânica quântica, \hat x e \hat p satisfazem a relação de comutador
[\hat x,\hat p]=\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Essa relação é essencial e impedirá que a energia de zero seja alcançada (você verá o porquê).

Passo 3

Uma maneira prática e elegante de obter os autovalores de \hat H é introduzir os operadores aniquilação \hat a e criação \hat a^{\dagger}. Definimos
\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\;\hat x+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\;\hat p, \qquad \hat a^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\;\hat x-\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\;\hat p.
Esses operadores são combinações lineares de \hat x e \hat p. Eles satisfazem o comutador
[\hat a,\hat a^{\dagger}]=1.
Também é útil notar que podemos inverter as expressões acima para escrever \hat x e \hat p em função de \hat a e \hat a^{\dagger}, mas não precisamos do detalhe agora — o importante é que com essas definições conseguiremos reescrever \hat H de forma simples.

Passo 4

Reescrevendo o Hamiltoniano em termos de \hat a e \hat a^{\dagger} (substituindo \hat x e \hat p nas definições e manipulando os termos) obtemos a forma padrão
\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^{\dagger}\hat a+\frac{1}{2}\right).
Aqui definimos o operador número \hat N=\hat a^{\dagger}\hat a. É conhecido que \hat N possui autovalores n onde n é um inteiro não-negativo:
\hat N \ket{n}=n\ket{n},\qquad n=0,1,2,\dots
Portanto os autovalores do Hamiltoniano são
E_{n}=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).
Explicando em palavras: cada nível de energia é indexado por n e o termo \tfrac{1}{2}\hbar\omega aparece mesmo no menor nível n=0. Esse termo é chamado de energia de ponto zero (zero-point energy).

Passo 5

Concluímos, para um único oscilador, que a energia mínima (estado fundamental, n=0) é
E_{0}=\frac{1}{2}\hbar\omega.
Interpretação física curta (didática): mesmo no estado de energia mais baixo, a partícula não pode ter simultaneamente posição e momento com precisão zero por causa do princípio da incerteza (relacionado ao comutador [\hat x,\hat p]=i\hbar). Isso implica uma energia residual positiva—o \tfrac{1}{2}\hbar\omega.

Passo 6

Agora vamos ao sistema com N osciladores desacoplados. Quando os osciladores são desacoplados, o Hamiltoniano total é soma dos Hamiltonianos individuais:
\hat H_{\text{total}}=\sum_{i=1}^{N}\hat H_{i}
onde cada \hat H_{i} tem a forma (para o i-ésimo oscilador)
\hat H_{i}=\hbar\omega_{i}\left(\hat a_{i}^{\dagger}\hat a_{i}+\frac{1}{2}\right).
Como não há interação entre os osciladores, os autovalores da energia total são simplesmente somas das energias de cada oscilador; o estado fundamental do sistema é o produto tensorial dos estados fundamentais individuais. Assim a energia mínima total é a soma das energias fundamentais de cada oscilador:
E_{\min}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}\hbar\omega_{i}.

Passo 7

Caso especial útil — osciladores idênticos: se todos os N osciladores têm a mesma frequência \omega (ou seja, \omega_i=\omega para todo i), a soma acima simplifica para
E_{\min}=N\cdot\frac{1}{2}\hbar\omega=\frac{N}{2}\hbar\omega.
Observação final: cada oscilador contribui com sua própria energia de ponto zero \tfrac{1}{2}\hbar\omega_i. Em física de muitos corpos ou campos, a soma dessas energias pode exigir cuidados (soma divergente, renormalização, etc.), mas para o problema simples pedido aqui a resposta é a soma direta mostrada.

Resposta

E_{\min}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}\hbar\omega_{i}.
\text{Se }\omega_{i}=\omega\\ \forall i:\quad E_{\min}=\frac{N}{2}\hbar\omega.

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