5- Calcule a energia mímina que um sistema composto de
osciladores harmônicos quânticos desacoplados pode ter.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a energia mínima que um sistema composto de
osciladores harmônicos quânticos desacoplados pode ter.”\n
Informações relevantes que temos (explicitadas para não deixar nada subentendido):\n
Informações relevantes que temos (explicitadas para não deixar nada subentendido):\n
- O sistema é formado por
osciladores harmônicos quânticos. Cada oscilador tem coordenada , momento , massa e frequência angular . Se os osciladores não forem idênticos, vamos indicar a frequência do -ésimo por .\n - “Desacoplados” significa que não há termos de interação entre os osciladores: a energia total é soma das energias de cada oscilador.\n
- O objetivo é achar a energia mínima possível (energia de estado fundamental) do sistema inteiro.\n
Nada mais foi pedido (por exemplo, não foi preciso considerar temperatura, degenerações extras, ou acoplamentos). A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos começar analisando um único oscilador harmônico quântico: escrevemos seu Hamiltoniano (operador energia). O Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é
Explanação das notações:
é o operador posição,
é o operador momento canônico,
é a massa e
é a frequência angular do oscilador. Em mecânica quântica,
e
satisfazem a relação de comutador
onde
é a constante de Planck reduzida. Essa relação é essencial e impedirá que a energia de zero seja alcançada (você verá o porquê).
Passo 3
Uma maneira prática e elegante de obter os autovalores de
é introduzir os operadores aniquilação
e criação
. Definimos
Esses operadores são combinações lineares de
e
. Eles satisfazem o comutador
Também é útil notar que podemos inverter as expressões acima para escrever
e
em função de
e
, mas não precisamos do detalhe agora — o importante é que com essas definições conseguiremos reescrever
de forma simples.
Passo 4
Reescrevendo o Hamiltoniano em termos de
e
(substituindo
e
nas definições e manipulando os termos) obtemos a forma padrão
Aqui definimos o operador número
. É conhecido que
possui autovalores
onde
é um inteiro não-negativo:
Portanto os autovalores do Hamiltoniano são
Explicando em palavras: cada nível de energia é indexado por
e o termo
aparece mesmo no menor nível
. Esse termo é chamado de energia de ponto zero (zero-point energy).
Passo 5
Concluímos, para um único oscilador, que a energia mínima (estado fundamental,
) é
Interpretação física curta (didática): mesmo no estado de energia mais baixo, a partícula não pode ter simultaneamente posição e momento com precisão zero por causa do princípio da incerteza (relacionado ao comutador
). Isso implica uma energia residual positiva—o
.
Passo 6
Agora vamos ao sistema com
osciladores desacoplados. Quando os osciladores são desacoplados, o Hamiltoniano total é soma dos Hamiltonianos individuais:
onde cada
tem a forma (para o
-ésimo oscilador)
Como não há interação entre os osciladores, os autovalores da energia total são simplesmente somas das energias de cada oscilador; o estado fundamental do sistema é o produto tensorial dos estados fundamentais individuais. Assim a energia mínima total é a soma das energias fundamentais de cada oscilador:
Passo 7
Caso especial útil — osciladores idênticos: se todos os
osciladores têm a mesma frequência
(ou seja,
para todo
), a soma acima simplifica para
Observação final: cada oscilador contribui com sua própria energia de ponto zero
. Em física de muitos corpos ou campos, a soma dessas energias pode exigir cuidados (soma divergente, renormalização, etc.), mas para o problema simples pedido aqui a resposta é a soma direta mostrada.