6- Uma partícula clássica livre pode acessar uma região no espaço de fase de volume de 200 k g^{1 / 2} J^{1 / 2} quando tem energia entre 4 J e 4,5 J e está dentro de um poço de potencial unidimensional de tamanho 2 m m. Qual a massa dessa partícula?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a massa da partícula.
  • A partícula é clássica, livre dentro de um poço unidimensional de comprimento \,L=2\\ \text{mm}=2\times10^{-3}\\ \text{m}\,.
  • A energia da partícula está entre \,E_1=4\\ \text{J}\, e \,E_2=4{,}5\\ \text{J}\,.
  • O volume acessível no espaço de fases (entre essas energias) vale \,\Delta\Gamma = 200\\ \text{kg}^{1/2}\,\text{J}^{1/2}\,.
  • O que se pede: encontrar a massa \,m\, da partícula usando esses dados.

Passo 2

Vamos entender o que significa “volume no espaço de fase” para esta situação e montar a expressão que liga esse volume à massa.
  • Em 1 dimensão, o espaço de fase tem coordenada x e momento p. O elemento de volume de fase é dx\,dp.
  • Dentro do poço (onde a partícula é livre), a coordenada x pode variar por todo o comprimento do poço; então a contribuição em x é simplesmente o comprimento L.
  • Para cada energia \,E\, livre (potencial zero dentro do poço), o momento permitido tem magnitude
p=\sqrt{2mE},
pois a energia cinética é \,E=\dfrac{p^2}{2m}\,. Aqui \,p\, tem unidades de momento (kg·m/s).
  • Entre duas energias \,E_1 e \,E_2 os momentos possíveis têm módulos entre \,\sqrt{2mE_1}\, e \,\sqrt{2mE_2}\,, e para cada módulo há dois sinais + e -. Portanto, o “tamanho” em p do intervalo corresponde a
2\big(\sqrt{2mE_2}-\sqrt{2mE_1}\big).
  • Assim, o volume de fase acessível entre \,E_1 e \,E_2 é
\Delta\Gamma = L \times 2\big(\sqrt{2mE_2}-\sqrt{2mE_1}\big).
Esta fórmula é importante: cada termo está claro: L vem de integrar em x e o resto vem da amplitude em p.

Passo 3

Isolamos a massa m a partir da expressão obtida.
  • Começando de
\Delta\Gamma = 2L\big(\sqrt{2mE_2}-\sqrt{2mE_1}\big)
fatoramos \sqrt{2m}:
\Delta\Gamma = 2L\sqrt{2m}\,\big(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}\big).
  • Portanto
\sqrt{2m}=\frac{\Delta\Gamma}{2L\big(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}\big)}.
  • Elevando ao quadrado e isolando m:
2m=\left(\frac{\Delta\Gamma}{2L\big(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}\big)}\right)^{\!2}, \qquad m=\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta\Gamma}{2L\big(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}\big)}\right)^{\!2}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo.
  • Primeiro calculemos a diferença das raízes das energias:
\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}=\sqrt{4{,}5}-\sqrt{4}=\sqrt{\tfrac{9}{2}}-2=\frac{3}{\sqrt{2}}-2\approx 0{,}1213203436.
  • Calcule o fator 2L(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}):
2L\big(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1}\big) =2\cdot(2\times10^{-3})\cdot 0{,}1213203436 =4\times10^{-3}\cdot 0{,}1213203436 \approx 4{,}852813742\times10^{-4}.
  • Agora a razão \dfrac{\Delta\Gamma}{2L(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1})}:
\frac{\Delta\Gamma}{2L(\sqrt{E_2}-\sqrt{E_1})} =\frac{200}{4{,}852813742\times10^{-4}} \approx 4{,}12310562561766\times10^{5}.
  • Elevando ao quadrado e dividindo por 2 para obter m:
m=\frac{1}{2}\left(4{,}12310562561766\times10^{5}\right)^{2} =\frac{1}{2}\cdot 1{,}70000000000000\times10^{11} =8{,}50000000000000\times10^{10}.

Passo 5

Interpretando o resultado e verificando unidades:
  • O cálculo deu
m \approx 8{,}5\times10^{10}\\ \text{kg}.
  • Unidade: como pedimos massa, a resposta está em quilogramas. (Observação: o valor é enorme para uma “partícula” — isso indica que os números e unidades fornecidos produzem uma massa macroscópica; matematicamente está consistente com a fórmula e os dados fornecidos.)

Resposta

m \approx 8{,}5\times10^{10}\\ \text{kg}

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