6- Uma partícula clássica livre pode acessar uma região no espaço de fase de volume de
quando tem energia entre
e
e está dentro de um poço de potencial unidimensional de tamanho
. Qual a massa dessa partícula?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a massa da partícula.
- A partícula é clássica, livre dentro de um poço unidimensional de comprimento
. - A energia da partícula está entre
e . - O volume acessível no espaço de fases (entre essas energias) vale
. - O que se pede: encontrar a massa
da partícula usando esses dados.
Passo 2
Vamos entender o que significa “volume no espaço de fase” para esta situação e montar a expressão que liga esse volume à massa.
- Em 1 dimensão, o espaço de fase tem coordenada
e momento . O elemento de volume de fase é . - Dentro do poço (onde a partícula é livre), a coordenada
pode variar por todo o comprimento do poço; então a contribuição em é simplesmente o comprimento . - Para cada energia
livre (potencial zero dentro do poço), o momento permitido tem magnitude
pois a energia cinética é
. Aqui
tem unidades de momento (kg·m/s).
- Entre duas energias
e os momentos possíveis têm módulos entre e , e para cada módulo há dois sinais e . Portanto, o “tamanho” em do intervalo corresponde a
- Assim, o volume de fase acessível entre
e é
Esta fórmula é importante: cada termo está claro:
vem de integrar em
e o resto vem da amplitude em
.
Passo 3
Isolamos a massa
a partir da expressão obtida.
- Começando de
fatoramos
:
- Portanto
- Elevando ao quadrado e isolando
:
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo.
- Primeiro calculemos a diferença das raízes das energias:
- Calcule o fator
:
- Agora a razão
:
- Elevando ao quadrado e dividindo por
para obter :
Passo 5
Interpretando o resultado e verificando unidades:
- O cálculo deu
- Unidade: como pedimos massa, a resposta está em quilogramas. (Observação: o valor é enorme para uma “partícula” — isso indica que os números e unidades fornecidos produzem uma massa macroscópica; matematicamente está consistente com a fórmula e os dados fornecidos.)