4- Calcule a energia máxima que um sistema composto de
spins
pode ter.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a energia máxima que um sistema composto de
spins
pode ter.”
Informações/restrições que vamos assumir (o enunciado é sucinto, então adotamos a formulação padrão): \n
Informações/restrições que vamos assumir (o enunciado é sucinto, então adotamos a formulação padrão): \n
- Temos
spins independentes, cada um com spin . \n - Há um campo magnético uniforme
acoplado a cada spin através de um momento magnético (ou seja, energia de interação magnética típica). \n - Não há interações entre spins além do acoplamento ao campo externo (sistema de spins não-interagentes). \n
O que é pedido: encontrar a energia total máxima do sistema (ou seja, a maior energia eigenvalor possível do Hamiltoniano do sistema dado).
Passo 2
Vamos escrever o Hamiltoniano padrão para
spins
em um campo magnético
. \n
Cada spin tem operador de projeção na direção ; usando a matriz de Pauli
(cujos autovalores são
) a energia de um único spin é proporcional a
. Portanto o Hamiltoniano total é
Cada spin tem operador de projeção na direção
Aqui:
é a matriz de Pauli
agindo no spin
;
é o momento magnético (escalar) associado ao spin e
é o módulo do campo magnético.
Passo 3
Explico por que escolhemos essa forma: \n
- Para um spin
, a projeção do spin em (ou o operador de momento magnético na direção ) tem autovalores . Quando trabalhamos com a matriz de Pauli usamos autovalores e então cada projeção efetiva aparece com o fator . \n - A energia de interação magnética clássica é
. No modelo quântico simplificado usamos multiplicado pelo operador de projeção (a convenção com o sinal de depende da partícula; aqui é a constante que entra no Hamiltoniano).
Passo 4
Calculemos os autovalores de energia de um único spin. \n
Como tem autovalores
e
, substituindo na energia de um spin:
Como
Logo os dois valores possíveis são
Portanto, para cada spin isolado as duas energias são
e
.
Passo 5
Interpretação física e escolha da energia máxima para o sistema: \n
- Entre os dois valores de energia por spin, o maior (mais alto) é
. \n - Para o sistema total de
spins não-interagentes, os autovalores do Hamiltoniano são somas das energias individuais. A energia total é maximizada quando todos os spins ocupam o estado de maior energia individual, isto é, todos têm energia .
Passo 6
Somando as contribuições de todos os
spins quando todos estão no estado de maior energia, obtemos
Passo 7
Observações importantes (para a prova e para evitar confusão com sinais): \n
- Se a constante
for negativa (por exemplo, o momento magnético de elétron pode ser efetivamente negativo dependendo da convenção), os valores numéricos das energias individuais trocam de ordem; neste caso a expressão acima ainda descreve o autovalor , mas o “maior” valor em termos numéricos absolutos é . Para usar sem ambiguidade em provas, é comum escrever a energia máxima em módulo como se puder ser negativa na convenção adotada. \n - Se o problema não menciona campo magnético ou momento magnético, muitas vezes entende-se que a diferença de energia entre os dois estados do spin é
; nesse caso a energia máxima seria , onde é a separação energética entre os níveis e .