4- Calcule a energia máxima que um sistema composto de N spins 1 / 2 pode ter.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a energia máxima que um sistema composto de N spins 1/2 pode ter.”
Informações/restrições que vamos assumir (o enunciado é sucinto, então adotamos a formulação padrão): \n
  • Temos N spins independentes, cada um com spin 1/2. \n
  • Há um campo magnético uniforme \mathbf{B}=B\hat{z} acoplado a cada spin através de um momento magnético \mu (ou seja, energia de interação magnética típica). \n
  • Não há interações entre spins além do acoplamento ao campo externo (sistema de spins não-interagentes). \n
    O que é pedido: encontrar a energia total máxima do sistema (ou seja, a maior energia eigenvalor possível do Hamiltoniano do sistema dado).

Passo 2

Vamos escrever o Hamiltoniano padrão para N spins 1/2 em um campo magnético \mathbf{B}=B\hat{z}. \n
Cada spin tem operador de projeção na direção z; usando a matriz de Pauli \hat{\sigma}^z (cujos autovalores são \pm 1) a energia de um único spin é proporcional a -\mu B\hat{\sigma}^z/2. Portanto o Hamiltoniano total é
\hat{H} = -\mu B \sum_{i=1}^{N} \frac{\hat{\sigma}_i^z}{2}.
Aqui: \hat{\sigma}_i^z é a matriz de Pauli z agindo no spin i; \mu é o momento magnético (escalar) associado ao spin e B é o módulo do campo magnético.

Passo 3

Explico por que escolhemos essa forma: \n
  • Para um spin 1/2, a projeção do spin em z (ou o operador de momento magnético na direção z) tem autovalores \pm \tfrac{1}{2}\hbar. Quando trabalhamos com a matriz de Pauli \hat{\sigma}^z usamos autovalores \pm 1 e então cada projeção efetiva aparece com o fator 1/2. \n
  • A energia de interação magnética clássica é -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}. No modelo quântico simplificado usamos -\mu B multiplicado pelo operador de projeção (a convenção com o sinal de \mu depende da partícula; aqui \mu é a constante que entra no Hamiltoniano).

Passo 4

Calculemos os autovalores de energia de um único spin. \n
Como \hat{\sigma}^z tem autovalores +1 e -1, substituindo na energia de um spin:
E_{\text{spin}} = -\mu B\frac{s}{2},\quad s=\pm 1.
Logo os dois valores possíveis são
E_{+} = -\mu B\frac{(+1)}{2} = -\frac{\mu B}{2},
E_{-} = -\mu B\frac{(-1)}{2} = +\frac{\mu B}{2}.
Portanto, para cada spin isolado as duas energias são -\tfrac{\mu B}{2} e +\tfrac{\mu B}{2}.

Passo 5

Interpretação física e escolha da energia máxima para o sistema: \n
  • Entre os dois valores de energia por spin, o maior (mais alto) é +\tfrac{\mu B}{2}. \n
  • Para o sistema total de N spins não-interagentes, os autovalores do Hamiltoniano são somas das energias individuais. A energia total é maximizada quando todos os spins ocupam o estado de maior energia individual, isto é, todos têm energia +\tfrac{\mu B}{2}.

Passo 6

Somando as contribuições de todos os N spins quando todos estão no estado de maior energia, obtemos
E_{\max} = N \cdot \frac{\mu B}{2}.

Passo 7

Observações importantes (para a prova e para evitar confusão com sinais): \n
  • Se a constante \mu for negativa (por exemplo, o momento magnético de elétron pode ser efetivamente negativo dependendo da convenção), os valores numéricos das energias individuais trocam de ordem; neste caso a expressão acima ainda descreve o autovalor N\mu B/2, mas o “maior” valor em termos numéricos absolutos é N\frac{|\mu|B}{2}. Para usar sem ambiguidade em provas, é comum escrever a energia máxima em módulo como E_{\max}=N\frac{|\mu|B}{2} se \mu puder ser negativa na convenção adotada. \n
  • Se o problema não menciona campo magnético ou momento magnético, muitas vezes entende-se que a diferença de energia entre os dois estados do spin é \epsilon; nesse caso a energia máxima seria E_{\max}=N\frac{\epsilon}{2}, onde \epsilon é a separação energética entre os níveis -\epsilon/2 e +\epsilon/2.

Resposta

E_{\max} = N\,\frac{\mu B}{2}

Exercícios relacionados