Qual o número de estados cujo sistema composto de 70 osciladores harmônico quânticos desacoplados tem energia 50 \hbar \omega pode acessar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa clara:
- Temos
osciladores harmônicos quânticos desacoplados. - A energia total do sistema composto é
. - A pergunta: “Qual o número de estados cujo sistema composto pode acessar?” — isto é, quantas configurações quânticas distintas
satisfazem a condição de energia dada.
Passo 2
Entendendo a energia de cada oscilador (revisão passo a passo, devagar e sem pular etapas).
- Para um oscilador harmônico quântico, os níveis de energia são
onde
é o número quântico do oscilador. O termo
é a energia de ponto zero (zero-point energy): mesmo no estado fundamental (
) o oscilador tem energia não nula.
- Para
osciladores desacoplados, se o -ésimo oscilador está no nível , a energia total é
- Igualando à energia total dada
e cancelando o fator comum , obtemos
- Somando os termos constantes
(são termos), temos . Então
- Assim chegamos à equação simples para os números quânticos:
Interpretação física final dessa etapa: a energia acima do zero-point total corresponde a
quanta de energia
distribuídos entre os
osciladores.
Passo 3
Transformando o problema em contagem combinatória (a chave para resolver em prova).
- Precisamos contar o número de tuplas
onde cada é um inteiro não negativo e
Esse é um problema clássico de “composições fracas” (ou soluções inteiras não negativas de uma soma fixa).
- O teorema “stars and bars” (estrelas e barras) dá a resposta: o número de soluções em inteiros não negativos da equação
é
Explicação curta e intuitiva do porquê: imagine
estrelas em fila representando unidades a distribuir e coloque
barras entre elas para dividir em
caixas. Ao escolher as posições das
barras entre as
posições totais determinamos uma distribuição. O número de escolhas é o binomial acima.
- Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se
e , então o número de soluções de é
e as soluções são
. Veja como cada distribuição corresponde a uma escolha de barras.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso concreto.
- Aqui temos
variáveis e quanta para distribuir, então o número de estados é
- Usando a identidade dos binomiais
, é comum escrever também
o que é equivalente e às vezes mais conveniente para cálculo numérico.
- Observação física importante (para você usar na prova se aparecerem pegadinhas): contamos as distribuições dos quanta entre os osciladores como distintas porque cada oscilador é um modo separado (ou posição separada) — isto é, os osciladores são distinguíveis pelo índice
. Se os modos fossem indistinguíveis o problema mudaria completamente.