Qual o número de estados cujo sistema composto de 70 osciladores harmônico quânticos desacoplados tem energia 50 \hbar \omega pode acessar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa clara:
  • Temos 70 osciladores harmônicos quânticos desacoplados.
  • A energia total do sistema composto é 50\,\hbar\omega.
  • A pergunta: “Qual o número de estados cujo sistema composto pode acessar?” — isto é, quantas configurações quânticas distintas (n_1,n_2,\dots,n_{70}) satisfazem a condição de energia dada.

Passo 2

Entendendo a energia de cada oscilador (revisão passo a passo, devagar e sem pular etapas).
  • Para um oscilador harmônico quântico, os níveis de energia são
E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),
onde n\in\{0,1,2,\dots\} é o número quântico do oscilador. O termo \tfrac{1}{2}\hbar\omega é a energia de ponto zero (zero-point energy): mesmo no estado fundamental ( n=0) o oscilador tem energia não nula.
  • Para 70 osciladores desacoplados, se o i-ésimo oscilador está no nível n_i, a energia total é
\sum_{i=1}^{70} \hbar\omega\left(n_i+\tfrac{1}{2}\right).
  • Igualando à energia total dada 50\,\hbar\omega e cancelando o fator comum \hbar\omega, obtemos
\sum_{i=1}^{70}\left(n_i+\tfrac{1}{2}\right)=50.
  • Somando os termos constantes \tfrac{1}{2} (são 70 termos), temos \tfrac{70}{2}=35. Então
\sum_{i=1}^{70} n_i + 35 = 50.
  • Assim chegamos à equação simples para os números quânticos:
\sum_{i=1}^{70} n_i = 15.
Interpretação física final dessa etapa: a energia acima do zero-point total corresponde a 15 quanta de energia \hbar\omega distribuídos entre os 70 osciladores.

Passo 3

Transformando o problema em contagem combinatória (a chave para resolver em prova).
  • Precisamos contar o número de tuplas (n_1,\dots,n_{70}) onde cada n_i é um inteiro não negativo e
\sum_{i=1}^{70} n_i = 15.
Esse é um problema clássico de “composições fracas” (ou soluções inteiras não negativas de uma soma fixa).
  • O teorema “stars and bars” (estrelas e barras) dá a resposta: o número de soluções em inteiros não negativos da equação
\sum_{i=1}^{k} x_i = m
é
\binom{m+k-1}{k-1}.
Explicação curta e intuitiva do porquê: imagine m estrelas em fila representando unidades a distribuir e coloque k-1 barras entre elas para dividir em k caixas. Ao escolher as posições das k-1 barras entre as m+k-1 posições totais determinamos uma distribuição. O número de escolhas é o binomial acima.
  • Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se k=3 e m=2, então o número de soluções de x_1+x_2+x_3=2 é
\binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6,
e as soluções são (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1). Veja como cada distribuição corresponde a uma escolha de barras.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso concreto.
  • Aqui temos k=70 variáveis e m=15 quanta para distribuir, então o número de estados é
\binom{15+70-1}{70-1}=\binom{84}{69}.
  • Usando a identidade dos binomiais \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}, é comum escrever também
\binom{84}{15},
o que é equivalente e às vezes mais conveniente para cálculo numérico.
  • Observação física importante (para você usar na prova se aparecerem pegadinhas): contamos as distribuições dos quanta entre os osciladores como distintas porque cada oscilador é um modo separado (ou posição separada) — isto é, os osciladores são distinguíveis pelo índice i. Se os modos fossem indistinguíveis o problema mudaria completamente.

Resposta

\displaystyle \binom{84}{15}

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