Calcule a energia e a potência média das sequências abaixo:
x[n]=3(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a sequência discreta x[n]=3(-1)^{n}: calcular a energia e calcular a potência média. Informações dadas:
  • A sequência é definida para todo n\in\mathbb{Z}.
  • A única expressão é x[n]=3(-1)^{n}.
    As perguntas são:
  • Qual é a energia da sequência?
  • Qual é a potência média (potência) da sequência?

Passo 2

Antes de calcular, preciso lembrar as definições (vou explicar cada símbolo com calma).
  • Energia de um sinal discreto: E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2}.
Aqui E é a energia total; |x[n]| é o valor absoluto de x[n]; |x[n]|^{2} é o quadrado desse módulo; e a soma vai por todos os inteiros n.
  • Potência média de um sinal discreto: P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^{2}.
Aqui P é a potência média, a média (no sentido aritmético) do quadrado do sinal em uma janela simétrica de comprimento 2N+1, e depois toma-se o limite quando a janela cresce sem limite.
Observação intuitiva: se |x[n]|^{2} é uma constante não nula, a soma para energia tende a infinito (energia infinita), mas a média tende a essa constante (potência finita).

Passo 3

Calcular |x[n]|^{2} para a sequência dada. Primeiro note que para qualquer inteiro n vale (-1)^{n}=\pm1 e, portanto, |(-1)^{n}|=1. Assim:
|x[n]|=|3(-1)^{n}|=3\cdot|(-1)^{n}|=3\cdot1=3.
Elevando ao quadrado:
|x[n]|^{2}=3^{2}=9\quad\text{para todo }n.
Portanto o quadrado do módulo é constante e igual a 9 para qualquer n.

Passo 4

Calcular a energia usando a definição e o resultado do passo anterior:
E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}9.
Esta soma é a soma de uma constante positiva 9 sobre um conjunto infinito de índices; logo diverge para o infinito. Em palavras: somar 9 infinitas vezes dá infinito. Portanto:
E=\infty.

Passo 5

Calcular a potência média usando a definição e o fato de que |x[n]|^{2}=9 para todo n:
P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}9.
A soma de 9 repetida 2N+1 vezes é 9(2N+1). Substituindo:
P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\cdot 9(2N+1)=\lim_{N\to\infty}9=9.
Portanto a potência média é 9. Intuição rápida: o valor RMS do sinal é 3, e potência média (valor quadrático médio) é 3^{2}=9.

Passo 6

Breve interpretação e exemplo para fixar (sem repetir as respostas finais): sinais periódicos não nulos (aqui (-1)^{n} é periódico) costumam ter energia infinita e potência finita igual à média do quadrado. Por exemplo, se tivesse y[n]=5 constante, então |y[n]|^{2}=25 e a potência seria 25 (energia infinita). Isso ajuda a reconhecer padrões na prova.

Resposta

E=\infty
P=9

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