Calcule a energia e a potência média das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a sequência discreta
: calcular a energia e calcular a potência média. Informações dadas:
- A sequência é definida para todo
. - A única expressão é
.
As perguntas são: - Qual é a energia da sequência?
- Qual é a potência média (potência) da sequência?
Passo 2
Antes de calcular, preciso lembrar as definições (vou explicar cada símbolo com calma).
- Energia de um sinal discreto:
Aqui
é a energia total;
é o valor absoluto de
;
é o quadrado desse módulo; e a soma vai por todos os inteiros
.
- Potência média de um sinal discreto:
Aqui
é a potência média, a média (no sentido aritmético) do quadrado do sinal em uma janela simétrica de comprimento
, e depois toma-se o limite quando a janela cresce sem limite.
Observação intuitiva: se é uma constante não nula, a soma para energia tende a infinito (energia infinita), mas a média tende a essa constante (potência finita).
Observação intuitiva: se
Passo 3
Calcular
para a sequência dada. Primeiro note que para qualquer inteiro
vale
e, portanto,
. Assim:
Elevando ao quadrado:
Portanto o quadrado do módulo é constante e igual a
para qualquer
.
Passo 4
Calcular a energia usando a definição e o resultado do passo anterior:
Esta soma é a soma de uma constante positiva
sobre um conjunto infinito de índices; logo diverge para o infinito. Em palavras: somar
infinitas vezes dá infinito. Portanto:
Passo 5
Calcular a potência média usando a definição e o fato de que
para todo
:
A soma de
repetida
vezes é
. Substituindo:
Portanto a potência média é
. Intuição rápida: o valor RMS do sinal é
, e potência média (valor quadrático médio) é
.
Passo 6
Breve interpretação e exemplo para fixar (sem repetir as respostas finais): sinais periódicos não nulos (aqui
é periódico) costumam ter energia infinita e potência finita igual à média do quadrado. Por exemplo, se tivesse
constante, então
e a potência seria
(energia infinita). Isso ajuda a reconhecer padrões na prova.