Considere o sinal x[n]=\cos \left(\omega_{0} n\right). Para cada valor de \omega_{0} abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
\omega_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a sequência x[n]=\cos\!\left(\omega_{0} n\right) e pede, para o caso \omega_{0}=0: (a) determinar se a sequência é periódica; (b) se for periódica, indicar o seu período fundamental. Informação relevante: aqui \omega_{0}=0.

Passo 2

Definição útil (para lembrar): uma sequência discreta x[n] é periódica se existe um inteiro positivo N tal que
x[n+N]=x[n]\quad\text{para todo inteiro }n.
O período fundamental (ou menor período) é o menor inteiro positivo N que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Substituindo \omega_{0}=0 na expressão da sequência, temos
x[n]=\cos\!\left(0\cdot n\right)=\cos(0).
Como \cos(0)=1, obtemos
x[n]=1\quad\text{para todo inteiro }n.

Passo 4

Verificação da periodicidade: como x[n]=1 para todo n, então para qualquer inteiro positivo N
x[n+N]=1=x[n],
portanto a condição de periodicidade é satisfeita para todo N\in\{1,2,3,\dots\}. Logo a sequência é periódica.

Passo 5

Determinar o período fundamental: precisamos encontrar o menor inteiro positivo N tal que x[n+N]=x[n] para todo n. Vimos que qualquer N\ge 1 funciona; o menor inteiro positivo possível é N=1. Verificando explicitamente,
x[n+1]=1=x[n]\quad\text{para todo }n,
portanto N_{0}=1 é o período fundamental. (Não existe inteiro positivo menor que 1, logo não há alternativa.)

Resposta

A sequência é periódica. Período fundamental N_{0}=1.

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