Considere o sinal
. Para cada valor de
abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede, para o caso
: (a) determinar se a sequência é periódica; (b) se for periódica, indicar o seu período fundamental. Informação relevante: aqui
.
Passo 2
Definição útil (para lembrar): uma sequência discreta
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
O período fundamental (ou menor período) é o menor inteiro positivo
que satisfaz essa igualdade.
Passo 3
Substituindo
na expressão da sequência, temos
Como
, obtemos
Passo 4
Verificação da periodicidade: como
para todo
, então para qualquer inteiro positivo
portanto a condição de periodicidade é satisfeita para todo
. Logo a sequência é periódica.
Passo 5
Determinar o período fundamental: precisamos encontrar o menor inteiro positivo
tal que
para todo
. Vimos que qualquer
funciona; o menor inteiro positivo possível é
. Verificando explicitamente,
portanto
é o período fundamental. (Não existe inteiro positivo menor que
, logo não há alternativa.)
Resposta
A sequência é periódica. Período fundamental
.