Considere o sinal
. Para cada valor de
abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
e pede, para
, se a sequência é periódica e, em caso afirmativo, qual é o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A forma da sequência:
. - O valor a testar:
. - Pergunta: periodicidade (sim/não) e, se sim, período fundamental
(inteiro positivo).
Passo 2
Definição precisa de periodicidade em tempo discreto: uma sequência
é periódica se existe inteiro positivo
tal que
Aplicando isso a
, a condição torna-se
Usando a identidade trigonométrica e a propriedade de igualdade para todo
:
para todo
ocorre se, e somente se,
para algum inteiro
. Portanto a condição acima equivale a exigir
para alguns inteiros
e
.
Passo 3
Interpretação prática da condição: existe
ou seja,
deve ser um número racional. Alternativamente, escrevendo
em termos de inteiros coprimos
, o menor período fundamental tem fórmula
porque a condição
e o menor
que satisfaz isto depende da paridade de
. (Essa é a forma prática para encontrar o período quando
é um múltiplo racional de
.)]
Passo 4
Agora aplico isso a
. Observação útil:
é um número racional. Considere a equação da periodicidade
Para
o membro esquerdo
é sempre racional (produto de racional por inteiro), enquanto o membro direito
é, para qualquer
, um múltiplo de
e portanto é irracional (porque
é irracional). A única possibilidade de
ser racional seria
, mas isso dá
e então exigiria
; com
e
isso é impossível. Assim não existe par inteiro
com
que satisfaça
.
Passo 5
Conclusão lógica: para
a condição necessária de periodicidade (existência de
inteiro tal que
) não pode ser satisfeita. Portanto
NÃO é periódica.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (para fixar a ideia): se em vez de
tivéssemos, por exemplo,
, então
(com
ímpar,
) e o período fundamental seria
. Isso ilustra que só quando
for um múltiplo racional de
a sequência será periódica.
Resposta
A sequência não é periódica.