Considere o sinal x[n]=\cos \left(\omega_{0} n\right). Para cada valor de \omega_{0} abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
\omega_{0}=0,1

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big) e pede, para \omega_{0}=0,1, se a sequência é periódica e, em caso afirmativo, qual é o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A forma da sequência: x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big).
  • O valor a testar: \omega_{0}=0,1.
  • Pergunta: periodicidade (sim/não) e, se sim, período fundamental N_{0} (inteiro positivo).

Passo 2

Definição precisa de periodicidade em tempo discreto: uma sequência x[n] é periódica se existe inteiro positivo N tal que
x[n+N]=x[n]\quad\text{para todo }n.
Aplicando isso a x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big), a condição torna-se
\cos\!\big(\omega_{0}(n+N)\big)=\cos\!\big(\omega_{0}n\big)\quad\text{para todo }n.
Usando a identidade trigonométrica e a propriedade de igualdade para todo \theta: \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta para todo \theta ocorre se, e somente se, \varphi=2\pi m para algum inteiro m. Portanto a condição acima equivale a exigir
\omega_{0}N=2\pi m
para alguns inteiros N>0 e m.

Passo 3

Interpretação prática da condição: existe N>0\) inteiro tal que \(\omega_{0}N=2\pi m\). Isso pode ser reescrito como \[\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{m}{N},
ou seja, \dfrac{\omega_{0}}{2\pi} deve ser um número racional. Alternativamente, escrevendo \dfrac{\omega_{0}}{\pi}=\dfrac{p}{q} em termos de inteiros coprimos p,q, o menor período fundamental tem fórmula
N_{0}=\begin{cases} q, & p \text{ par},\\[4pt] 2q, & p \text{ ímpar}, \end{cases}í
porque a condição \omega_{0}N=2\pi m\] força \(pN=2q m e o menor N que satisfaz isto depende da paridade de p. (Essa é a forma prática para encontrar o período quando \omega_{0} é um múltiplo racional de \pi.)]

Passo 4

Agora aplico isso a \omega_{0}=0,1. Observação útil: 0,1=\dfrac{1}{10} é um número racional. Considere a equação da periodicidade
\omega_{0}N=2\pi m.
Para \omega_{0}=0,1 o membro esquerdo \omega_{0}N é sempre racional (produto de racional por inteiro), enquanto o membro direito 2\pi m é, para qualquer m\neq 0, um múltiplo de \pi e portanto é irracional (porque \pi é irracional). A única possibilidade de 2\pi m ser racional seria m=0, mas isso dá 2\pi m=0 e então exigiria \omega_{0}N=0; com \omega_{0}=0,1 e N>0 isso é impossível. Assim não existe par inteiro (N,m) com N>0 que satisfaça \omega_{0}N=2\pi m.

Passo 5

Conclusão lógica: para \omega_{0}=0,1 a condição necessária de periodicidade (existência de N>0 inteiro tal que \omega_{0}N=2\pi m) não pode ser satisfeita. Portanto x[n]=\cos\!\big(0,1\,n\big) NÃO é periódica.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (para fixar a ideia): se em vez de \omega_{0}=0,1 tivéssemos, por exemplo, \omega_{0}=\pi/3, então \dfrac{\omega_{0}}{\pi}=\dfrac{1}{3} (com p=1 ímpar, q=3) e o período fundamental seria N_{0}=2q=6. Isso ilustra que só quando \omega_{0} for um múltiplo racional de \pi a sequência será periódica.

Resposta

A sequência não é periódica.

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