21.16 • No Exemplo 21.4, determine a força resultante (módulo, direção e sentido) sobre a carga q_{1} exercida pelas outras duas cargas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força resultante (módulo, direção e sentido) sobre a carga q_{1} exercida pelas outras duas cargas.
Informações fornecidas pelo enunciado recebido aqui: nenhuma específica — o problema remete ao “Exemplo 21.4”, cujo texto/figura não foram enviados. Portanto não há valores numéricos de cargas nem posições/distâncias/ângulos disponíveis neste enunciado que eu tenho.

Passo 2

Por que isso importa (objetivamente): para calcular a força eletrostática entre cargas é necessário conhecer:
  • os valores das cargas (por ex. q_{1}, q_{2}, q_{3});
  • as posições ou as distâncias relativas entre elas (por ex. coordenadas \vec r_{1},\vec r_{2},\vec r_{3} ou distâncias r_{12},r_{13} e ângulos);
  • opcionalmente o meio (se não informado, assume-se o vácuo com a constante de Coulomb k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}}).
Sem esses dados não é possível fornecer um valor numérico final. A seguir eu explico passo a passo o método que se usa na prova para resolver exatamente esse tipo de questão — com tudo bem mastigado — de modo que, quando tiver os números, você aplica diretamente e resolve rápido.

Passo 3

A lei que vamos usar (Coulomb) — fórmula e significado das variáveis.
A força elétrica entre duas cargas pontuais q_{i} e q_{j} é dada por
\vec F_{ij}=k\,\dfrac{q_i q_j}{r_{ij}^{3}}\,\vec r_{ij},
onde:
  • k é a constante eletrostática (no vácuo k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}});
  • \vec r_{ij}=\vec r_{j}-\vec r_{i} é o vetor que vai de i até j;
  • r_{ij}=\lVert\vec r_{ij}\rVert é a distância entre as cargas i e j;
  • o fator q_i q_j determina atração ( q_i q_j<0) ou repulsão ( q_i q_j>0);
  • a forma com r_{ij}^{3}\vec r_{ij} dá já a direção correta da força (evita confusão de sinais): a força em i devido a j aponta na direção de \vec r_{ij} se q_i q_j>0 (repulsão empurra i para longe de j), e no sentido oposto se q_i q_j<0 (atração puxa i para j).
Explicando mais devagar: \vec r_{ij}/r_{ij} é o versor (vetor unitário) apontando de i para j. A magnitude da força é
F_{ij}=k\,\dfrac{|q_i q_j|}{r_{ij}^{2}}.
O sinal/dirigir fica com o versor apropriado.

Passo 4

Procedimento passo a passo que você deve executar na prova (faça isto sempre que faltar só a aritmética):
  1. Escolher um sistema de coordenadas conveniente e anotar as posições \vec r_{1},\vec r_{2},\vec r_{3} das cargas (por ex. em coordenadas cartesianas).
  2. Calcular os vetores deslocamento: \vec r_{12}=\vec r_{2}-\vec r_{1},\qquad \vec r_{13}=\vec r_{3}-\vec r_{1}.
  3. Calcular as distâncias r_{12}=\lVert\vec r_{12}\rVert,\qquad r_{13}=\lVert\vec r_{13}\rVert.
  4. Calcular as forças (vetoriais) sobre q_{1} devido às outras cargas usando Coulomb: \vec F_{12}=k\,\dfrac{q_1 q_2}{r_{12}^{3}}\,\vec r_{12}, \qquad \vec F_{13}=k\,\dfrac{q_1 q_3}{r_{13}^{3}}\,\vec r_{13}.
    • Aqui \vec F_{12} é a força em q_{1} causada por q_{2}.
    • Se preferir componente a componente, escreva \vec r_{12}=(x_{12},y_{12}) e então (\vec F_{12})_x = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r_{12}^{3}}\,x_{12},\qquad (\vec F_{12})_y = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r_{12}^{3}}\,y_{12}.
  5. Somar vetorialmente as contribuições para obter a resultante sobre q_1: \vec F_{1}=\vec F_{12}+\vec F_{13}.
  6. Calcular o módulo da resultante: F_{\text{res}}=\lVert\vec F_{1}\rVert=\sqrt{(\,F_{1x}\,)^2+(\,F_{1y}\,)^2},onde F_{1x} e F_{1y} são as componentes x e y de \vec F_{1}.
  7. Calcular a direção (ângulo) usando a função arco-tangente cuidando da quadrante com \operatorname{atan2}: \theta=\operatorname{atan2}(F_{1y},F_{1x}).Interpretar \theta no sistema de coordenadas escolhido (por ex. em relação ao eixo +x).
  8. Determinar o sentido em palavras: por exemplo, “aponta para nordeste”, ou "aponta a 30^\circ acima do eixo negativo x", ou "direção radial afastando-se de q_2 e aproximando-se de q_3" — use o sinal dos componentes para dizer se aponta para +x/−x e +y/−y.

Passo 5

Dicas e cuidados para não perder tempo na prova:
  • Sempre desenhe um esquema com vetores e indique sinais das cargas (isso evita confundir atração/repulsão).
  • Trabalhe componente a componente; evita erro de sinais.
  • Use \operatorname{atan2} (ou determine o quadrante manualmente) para o ângulo: \operatorname{atan2}(y,x) já dá o ângulo correto entre -\pi e \pi.
  • Se as cargas forem colineares, a soma vetorial reduz-se a soma algébrica de sinais (muito mais rápido): trate como números com sinal.
  • Se o enunciado der distâncias e ângulos (em vez de coordenadas), transforme para componentes com \cos e \sin: ex. se \vec r_{12} tem comprimento r_{12} e faz ângulo \alpha com o eixo x, então x_{12}=r_{12}\cos\alpha, y_{12}=r_{12}\sin\alpha.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para treinar a técnica; NÃO é o Exemplo 21.4, só um caso fácil para ver como a conta sai):
  • Suponha q_{1}=+1\\ \mathrm{C} em (0,0), q_{2}=+1\\ \mathrm{C} em (1,0) e q_{3}=-1\\ \mathrm{C} em (0,1). (escolhi posições a 1 m para facilitar a conta).
  • Então \vec r_{12}=(1,0), r_{12}=1. \vec r_{13}=(0,1), r_{13}=1.
  • Forças: magnitude de cada interação é F=k\cdot\dfrac{1\cdot1}{1^{2}}=k. Direções: q_{2} repulsa q_{1} para a esquerda (vetor (-k,0)); q_{3} atrai q_{1} para cima (vetor (0,k)).
  • Soma vetorial: \vec F_{1}=(-k,k). Módulo: F_{\text{res}}=k\sqrt{1^{2}+1^{2}}=k\sqrt{2}.Ângulo em relação ao eixo +x: \theta=\operatorname{atan2}(k,-k)=\operatorname{atan2}(1,-1)=135^\circ,ou seja, aponta para o quadrante II (noroeste).
    Se quiser numérico com k=9{,}0\times10^{9}, F_{\text{res}}=9{,}0\times10^{9}\sqrt{2}\\ \mathrm{N}\approx1{,}27\times10^{10}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Recapitulando em linguagem de prova (passo a passo rápido para você decorar):
  1. Coloca coordenadas.
  2. Calcula \vec r_{12},\vec r_{13} e seus comprimentos.
  3. Calcula \vec F_{12} e \vec F_{13} com a expressão vetorial de Coulomb.
  4. Soma: \vec F_{1}=\vec F_{12}+\vec F_{13}.
  5. Calcula módulo e ângulo com \sqrt{\cdot} e \operatorname{atan2}.
  6. Diz o sentido em palavras (para onde aponta a resultante).
    Se seguir isso, resolve qualquer instância do problema com rapidez.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a força resultante sobre q_{1} porque o enunciado/figura do Exemplo 21.4 (valores das cargas e suas posições/distâncias/ângulos) não foram fornecidos.

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