Uma carga
está localizada no ponto (
), e uma carga
, no ponto (
). Determine o fluxo elétrico através da superfície definida pelas condições:
admitindo que o vetor área diferencial associado a essa superfície aponte no sentido
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
- Há duas cargas puntiformes:
- carga
localizada em ; - carga
localizada em .
- carga
- A superfície é o retângulo no plano
definido por: -
, -
.
Ou seja, é um retângulo centrado emcom semi-larguras em e em .
-
- O vetor área diferencial dessa superfície aponta na direção
. - O que o enunciado pede: determinar o fluxo elétrico total através dessa superfície devido às duas cargas dadas.
Passo 2
Entendendo o que é fluxo e como relacioná-lo a uma carga pontual (aula rápida e necessária).
- Definição prática de fluxo elétrico através de uma superfície
: onde é o vetor área (direção dada pelo enunciado, aqui ). - Para o campo elétrico de uma carga pontual
em o campo em é Substituindo isso em e integrando sobre obtém-se que o fluxo produzido por uma carga pontual através de pode ser escrito em termos do ângulo sólido subtendido por visto a partir da carga: - Aqui
é o ângulo sólido (em esterradianos) subtendido pela superfície quando observado do ponto onde a carga está localizada. Importante: é assinado, pois aparece o produto escalar no integrando; se esse produto for negativo no conjunto, fica negativo. Em termos práticos, a fórmula acima já trata o sinal corretamente: usar o com o sinal apropriado dá o sinal do fluxo.
Passo 3
Aplicando a ideia do ângulo sólido ao nosso caso (motivo da escolha do método).
- A superfície é um retângulo simétrico em torno do eixo que passa pelo ponto médio
. As duas cargas estão a distâncias iguais do plano : a carga em está a unidade abaixo da superfície; a carga em está a unidade acima. A simetria sugere que os ângulos sólidos (em módulo) subtendidos por esse retângulo, vistos a partir de cada carga, têm o mesmo valor absoluto. - Logo, calculemos o ângulo sólido
subtendido pelo retângulo visto a partir do ponto situado a uma distância perpendicular do plano, sobre a normal do retângulo.
Passo 4
Fórmula útil para o ângulo sólido de um retângulo simétrico (aula sobre a fórmula).
- Considere um retângulo centrado no eixo, de semi-larguras
(em ) e (em ), visto a partir de um ponto no eixo a distância perpendicular . O ângulo sólido subtendido por esse retângulo é dado pela fórmula conhecida - Explicando cada símbolo:
-
é metade da extensão do retângulo na direção (aqui ); -
é metade da extensão na direção (aqui ); -
é a distância perpendicular do ponto observador até o plano do retângulo (aqui ).
-
- Breve justificativa da fórmula (intuição): o retângulo pode ser visto como união de quatro triângulos simétricos em relação ao eixo; o cálculo do ângulo sólido de cada triângulo reduz-se a uma arctan que envolve produtos
e a distância ; pela simetria somam-se os quatro termos dando a expressão acima. (Não é preciso decorar provas longas para a prova: memorize a fórmula e entenda que ela vem da integração do integrando sobre o retângulo ou da decomposição em pirâmides retangulares.)
Passo 5
Calcular o ângulo sólido numérico para os valores dados.
- Substituindo
, , na fórmula: - Sabendo que
, temos . Portanto
Passo 6
Fluxo através da superfície devido a cada carga e soma total (cuidados com o sinal).
- Fluxo devido à carga
em : (Aqui é positivo porque, visto da carga em , o vetor tem componente positiva em que forma ângulo agudo com a normal .) - Fluxo devido à carga
em : - O módulo do ângulo sólido é o mesmo,
. Visto da carga em a componente de no sentido é negativa, o que faria assinado ser . Mas a carga é . Então o fluxo é
(Intuição física rápida: no ponto central os campos produzidos por ambas as cargas apontam no mesmo sentido relativo à normal , por isso cada carga contribui com fluxo de mesmo sinal.) - O módulo do ângulo sólido é o mesmo,
- Soma total dos fluxos: