Uma carga q está localizada no ponto ( 0,0,0 ), e uma carga -q, no ponto ( 0,2,0 ). Determine o fluxo elétrico através da superfície definida pelas condições:
\{y=1,-1 \leq x \leq 1,-1 \leq z \leq 1\},
admitindo que o vetor área diferencial associado a essa superfície aponte no sentido +y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
  • Há duas cargas puntiformes:
    • carga q localizada em (0,0,0);
    • carga -q localizada em (0,2,0).
  • A superfície é o retângulo no plano y=1 definido por:
    • -1 \le x \le 1,
    • -1 \le z \le 1.
      Ou seja, é um retângulo centrado em (0,1,0) com semi-larguras 1 em x e 1 em z.
  • O vetor área diferencial dessa superfície aponta na direção +y.
  • O que o enunciado pede: determinar o fluxo elétrico total através dessa superfície devido às duas cargas dadas.

Passo 2

Entendendo o que é fluxo e como relacioná-lo a uma carga pontual (aula rápida e necessária).
  • Definição prática de fluxo elétrico através de uma superfície S: \Phi=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},onde d\mathbf{A}= \hat{\mathbf{n}}\,dA é o vetor área (direção dada pelo enunciado, aqui \hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{y}}).
  • Para o campo elétrico de uma carga pontual q em \mathbf{r}_0 o campo em \mathbf{r} é \mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rVert^{3}}.Substituindo isso em \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} e integrando sobre S obtém-se que o fluxo produzido por uma carga pontual através de S pode ser escrito em termos do ângulo sólido \Omega subtendido por S visto a partir da carga: \Phi=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\Omega}{4\pi}.
  • Aqui \Omega é o ângulo sólido (em esterradianos) subtendido pela superfície S quando observado do ponto onde a carga está localizada. Importante: \Omega é assinado, pois aparece o produto escalar (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\cdot\hat{\mathbf{n}} no integrando; se esse produto for negativo no conjunto, \Omega fica negativo. Em termos práticos, a fórmula acima já trata o sinal corretamente: usar o \Omega com o sinal apropriado dá o sinal do fluxo.

Passo 3

Aplicando a ideia do ângulo sólido ao nosso caso (motivo da escolha do método).
  • A superfície é um retângulo simétrico em torno do eixo que passa pelo ponto médio (0,1,0). As duas cargas estão a distâncias iguais do plano y=1: a carga q em y=0 está a 1 unidade abaixo da superfície; a carga -q em y=2 está a 1 unidade acima. A simetria sugere que os ângulos sólidos (em módulo) subtendidos por esse retângulo, vistos a partir de cada carga, têm o mesmo valor absoluto.
  • Logo, calculemos o ângulo sólido \Omega subtendido pelo retângulo visto a partir do ponto situado a uma distância perpendicular h=1 do plano, sobre a normal do retângulo.

Passo 4

Fórmula útil para o ângulo sólido de um retângulo simétrico (aula sobre a fórmula).
  • Considere um retângulo centrado no eixo, de semi-larguras a (em x) e b (em z), visto a partir de um ponto no eixo a distância perpendicular h. O ângulo sólido \Omega subtendido por esse retângulo é dado pela fórmula conhecida \Omega=4\arctan\!\left(\dfrac{ab}{h\sqrt{h^{2}+a^{2}+b^{2}}}\right).
  • Explicando cada símbolo:
    • a é metade da extensão do retângulo na direção x (aqui a=1);
    • b é metade da extensão na direção z (aqui b=1);
    • h é a distância perpendicular do ponto observador até o plano do retângulo (aqui h=1).
  • Breve justificativa da fórmula (intuição): o retângulo pode ser visto como união de quatro triângulos simétricos em relação ao eixo; o cálculo do ângulo sólido de cada triângulo reduz-se a uma arctan que envolve produtos ab e a distância h; pela simetria somam-se os quatro termos dando a expressão acima. (Não é preciso decorar provas longas para a prova: memorize a fórmula e entenda que ela vem da integração do integrando \cos\theta/r^{2} sobre o retângulo ou da decomposição em pirâmides retangulares.)

Passo 5

Calcular o ângulo sólido numérico para os valores dados.
  • Substituindo a=1, b=1, h=1 na fórmula: \Omega=4\arctan\!\left(\dfrac{1\cdot 1}{1\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}\right) =4\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Sabendo que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, temos \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}. Portanto \Omega=4\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}.

Passo 6

Fluxo através da superfície devido a cada carga e soma total (cuidados com o sinal).
  • Fluxo devido à carga q em (0,0,0): \Phi_1=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\Omega}{4\pi} =\dfrac{q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\tfrac{2\pi}{3}}{4\pi} =\dfrac{q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{1}{6} =\dfrac{q}{6\varepsilon_0}.(Aqui \Omega é positivo porque, visto da carga em y=0, o vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 tem componente positiva em y que forma ângulo agudo com a normal +\hat{\mathbf{y}}.)
  • Fluxo devido à carga -q em (0,2,0):
    • O módulo do ângulo sólido é o mesmo, \lvert\Omega\rvert=\tfrac{2\pi}{3}. Visto da carga em y=2 a componente de \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 no sentido y é negativa, o que faria \Omega assinado ser -\tfrac{2\pi}{3}. Mas a carga é -q. Então o fluxo é
    \Phi_2=\dfrac{-q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{(-\tfrac{2\pi}{3})}{4\pi} =\dfrac{-q}{\varepsilon_0}\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right) =\dfrac{q}{6\varepsilon_0}.(Intuição física rápida: no ponto central os campos produzidos por ambas as cargas apontam no mesmo sentido relativo à normal +\hat{\mathbf{y}}, por isso cada carga contribui com fluxo de mesmo sinal.)
  • Soma total dos fluxos: \Phi_{\text{total}}=\Phi_1+\Phi_2=\dfrac{q}{6\varepsilon_0}+\dfrac{q}{6\varepsilon_0}=\dfrac{q}{3\varepsilon_0}.

Resposta

\displaystyle \Phi_{\text{total}}=\dfrac{q}{3\varepsilon_0}

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