a) Calcule a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica. Convença-se de que não é necessário saber o valor da temperatura ambiente.
b) Repita o cálculo para um litro de ar. Considere que o ar é basicamente uma mistura de
e
.
b) Repita o cálculo para um litro de ar. Considere que o ar é basicamente uma mistura de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
- Pergunta (a): Calcular a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica.
- Pergunta (b): Repetir o cálculo para um litro de ar (considerando ar ≈ mistura de
e ). - Dados fornecidos (assumidos padrão):
- Volume:
. - Pressão:
. - Temperatura ambiente: não numérica — deve-se mostrar que não é necessária.
- Volume:
- Hipóteses físicas que vamos usar (questão diz para aceitar): gás ideal; para o ar, tratar como diatômico com graus de liberdade apropriados a temperatura ambiente.
Passo 2
Conceito central: energia interna (energia térmica total) de um gás ideal monoatômico/diatômico.
- Equipartição: cada grau de liberdade quadrático contribui com
por molécula à energia média, onde é a constante de Boltzmann e a temperatura absoluta. - Para uma molécula com
graus de liberdade, energia média por molécula:
- Para
moléculas, energia total:
- Em termos de mols
e constante dos gases (com número de Avogadro), a energia por mol é e a energia total:
Aqui
é a energia interna total (em joules),
é o número de mols,
é a constante dos gases perfeitos (
) e
é a temperatura absoluta.
Passo 3
Mostrar por que a temperatura numérica não é necessária.
- Lei dos gases ideais:
- Substituindo
por na expressão de obtemos:
Esta fórmula expressa a energia interna diretamente em termos de
e
, portanto não é preciso conhecer
numericamente. Importante: essa dedução usa que o comportamento é de gás ideal e que
é o número adequado de graus de liberdade ativos.
Passo 4
Aplicar ao hélio (monoatômico).
- Hélio é monoatômico; graus de liberdade transacionais:
. - Logo:
- Substituir os valores numéricos:
- Multiplicando por
:
- Arredondando de forma conveniente (duas ou três cifras significativas, já que pressão atmosférica foi dada com quatro dígitos):
Passo 5
Explicação breve de por que usamos
para hélio:
- Átomos monoatômicos só possuem movimento de translação (três direções espaciais), cada uma contribuindo
por molécula. Não há rotações vibracionais significativas que adicionem energia interna no modelo usual a temperatura ambiente.
Passo 6
Aplicar ao ar (aproximadamente diatômico).
- Moléculas diatômicas (como
e ) a temperatura ambiente têm 3 graus transacionais + 2 graus rotacionais ativos, totalizando (as vibrações são pouco excitadas à temperatura ambiente típica). - Logo:
- Usando o mesmo
calculado em Passo 4:
- Arredondando:
Passo 7
Resumo das hipóteses e limites das respostas (importante para a prova):
- Resultados válidos sob hipótese de gás ideal.
- Para hélio a aproximação monoatômica é excelente.
- Para o ar a tomada
é válida a temperatura ambiente normal; a temperaturas muito altas vibrações seriam excitadas e aumentaria, alterando . - Valores numéricos usam
e , e portanto são independentes do .