a) Calcule a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica. Convença-se de que não é necessário saber o valor da temperatura ambiente.
b) Repita o cálculo para um litro de ar. Considere que o ar é basicamente uma mistura de \mathrm{N}_{2} e \mathrm{O}_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
  • Pergunta (a): Calcular a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica.
  • Pergunta (b): Repetir o cálculo para um litro de ar (considerando ar ≈ mistura de \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2).
  • Dados fornecidos (assumidos padrão):
    • Volume: V = 1\\ \text{L} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3.
    • Pressão: P = 1\\ \text{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}.
    • Temperatura ambiente: não numérica — deve-se mostrar que não é necessária.
  • Hipóteses físicas que vamos usar (questão diz para aceitar): gás ideal; para o ar, tratar como diatômico com graus de liberdade apropriados a temperatura ambiente.

Passo 2

Conceito central: energia interna (energia térmica total) de um gás ideal monoatômico/diatômico.
  • Equipartição: cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por molécula à energia média, onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.
  • Para uma molécula com f graus de liberdade, energia média por molécula:
\text{energia por molécula} = \frac{f}{2} k_B T.é
  • Para N moléculas, energia total:
U = N \cdot \frac{f}{2} k_B T.
  • Em termos de mols n e constante dos gases R = N_A k_B (com N_A número de Avogadro), a energia por mol é \dfrac{f}{2} R T e a energia total:
U = n \cdot \frac{f}{2} R T.
Aqui U é a energia interna total (em joules), n é o número de mols, R é a constante dos gases perfeitos ( R \approx 8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}) e T é a temperatura absoluta.

Passo 3

Mostrar por que a temperatura numérica não é necessária.
  • Lei dos gases ideais:
P V = n R T.
  • Substituindo n R T por PV na expressão de U obtemos:
U = n \cdot \frac{f}{2} R T = \frac{f}{2}\, (n R T) = \frac{f}{2}\, P V.
Esta fórmula expressa a energia interna diretamente em termos de P e V, portanto não é preciso conhecer T numericamente. Importante: essa dedução usa que o comportamento é de gás ideal e que f é o número adequado de graus de liberdade ativos.

Passo 4

Aplicar ao hélio (monoatômico).
  • Hélio é monoatômico; graus de liberdade transacionais: f=3.
  • Logo:
U_{\mathrm{He}} = \frac{3}{2}\, P V.
  • Substituir os valores numéricos:
P V = \bigl(1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}\bigr)\,\bigl(1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3\bigr) = 1{,}013\times10^{2}\\ \text{J}.
  • Multiplicando por \tfrac{3}{2}:
U_{\mathrm{He}} = \frac{3}{2}\cdot 1{,}013\times10^{2}\\ \text{J} = 1{,}5195\times10^{2}\\ \text{J}.
  • Arredondando de forma conveniente (duas ou três cifras significativas, já que pressão atmosférica foi dada com quatro dígitos):
U_{\mathrm{He}} \approx 152\\ \text{J}.

Passo 5

Explicação breve de por que usamos f=3 para hélio:
  • Átomos monoatômicos só possuem movimento de translação (três direções espaciais), cada uma contribuindo \tfrac{1}{2}k_B T por molécula. Não há rotações vibracionais significativas que adicionem energia interna no modelo usual a temperatura ambiente.

Passo 6

Aplicar ao ar (aproximadamente diatômico).
  • Moléculas diatômicas (como \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2) a temperatura ambiente têm 3 graus transacionais + 2 graus rotacionais ativos, totalizando f=5 (as vibrações são pouco excitadas à temperatura ambiente típica).
  • Logo:
U_{\text{ar}} = \frac{5}{2}\, P V.
  • Usando o mesmo P V calculado em Passo 4:
U_{\text{ar}} = \frac{5}{2}\cdot 1{,}013\times10^{2}\\ \text{J} = 2{,}5325\times10^{2}\\ \text{J}.
  • Arredondando:
U_{\text{ar}} \approx 253\\ \text{J}.

Passo 7

Resumo das hipóteses e limites das respostas (importante para a prova):
  • Resultados válidos sob hipótese de gás ideal.
  • Para hélio a aproximação monoatômica é excelente.
  • Para o ar a tomada f=5 é válida a temperatura ambiente normal; a temperaturas muito altas vibrações seriam excitadas e f aumentaria, alterando U.
  • Valores numéricos usam P=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} e V=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3, e portanto são independentes do T.

Resposta

U_{\mathrm{He}} \approx 1{,}52\times10^{2}\\ \text{J} \;(\approx 152\\ \text{J})
U_{\text{ar}} \approx 2{,}53\times10^{2}\\ \text{J} \;(\approx 253\\ \text{J})

Exercícios relacionados