Atmosfera isotérmica (ou exponencial):
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura d z, massa total m e área A. Como a fatia está em repouso, vimos em aula que d P / d z, a taxa de variação da pressão com a altitude, é dada por
\frac{d P}{d z}=-\rho g
onde \rho é a densidade do ar atmosférico. Use a lei dos gases ideais, P V=n R T, para escrever a densidade do ar em termos de sua pressão, temperatura e da massa da amostra de ar (exprima a massa m em termos da massa molar M discutida na questão 6). Mostre que a pressão obedece à equação diferencial
\frac{d P}{d z}=-\frac{M g}{R T} P,
que é chamada de a equação barométrica.
b) Suponha constante a temperatura T (atmosfera isotérmica) e verifique que P(z) / \rho(z)= \rho_{0} / P_{0}= cte, onde P_{0} é a pressão ao nível do mar, i.e., P(z=0)=1 \mathrm{~atm}. Resolva a equação diferencial obtida na parte (a), obtendo a pressão P como função da altitude z (lei de Halley):
P(z)=P_{0} e^{-\lambda z}
onde \lambda=\rho_{0} g / P_{0}.
c) Estime a diferença de pressão entre Nova Friburgo ( z \approx 850 m acima do nível do mar) e Rio de Janeiro (nível do mar). Considere \rho_{0}=1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
  • O enunciado pede:
    (a) Usando a lei dos gases ideais, expressar a densidade do ar em termos de pressão P, temperatura T e massa da amostra, escrever a massa total em termos da massa molar M e mostrar que a pressão satisfaz a equação
    \frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
    (b) Assumindo temperatura constante T (atmosfera isotérmica), verificar que P(z)/\rho(z) é constante (igual a seu valor ao nível do mar) e resolver a equação diferencial da parte (a) para obter a lei de Halley
    P(z)=P_{0}e^{-\lambda z}
    com \lambda=\rho_{0} g / P_{0}.
    (c) Estimar numericamente a diferença de pressão entre Nova Friburgo ( z\approx850\\ \mathrm{m}) e o nível do mar, usando \rho_{0}=1,23\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. O enunciado indica P_{0}=1\\ \mathrm{atm}.
  • Informações fornecidas e constantes que usarei:
    • Lei dos gases ideais: P V = n R T.
    • Massa molar do ar (símbolo dado no enunciado): M (unidade \mathrm{kg/mol}).
    • Massa total da fatia de ar: m.
    • Densidade: \rho = m/V.
    • Equilíbrio hidrostático: \dfrac{dP}{dz}=-\rho g.
    • Valores numéricos para (c): \rho_{0}=1,23\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}, e tomarei P_{0}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (valor usual de 1\\ \mathrm{atm} em Pascal).

Passo 2

Expressar a massa total m da fatia de ar em termos da massa molar M e o número de mols n.
  • Definição: a massa total m é igual ao número de mols n multiplicado pela massa molar M: m = n\,M.Aqui:
    • m é a massa total da fatia de ar (em \mathrm{kg}),
    • n é o número de mols na fatia,
    • M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}).
Isso é direto: cada mol tem massa M, então n mols têm massa nM.

Passo 3

Usar a lei dos gases ideais para escrever a densidade \rho em função de P, T e M.
  • A lei dos gases ideais, em forma usual, é
    P V = n R T,
    onde:
    • P é a pressão (Pa),
    • V é o volume (m^3),
    • n é o número de mols,
    • R é a constante universal dos gases ( R\approx8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (K).
  • A densidade é \rho = m/V. Substituindo m=nM temos
    \rho = \frac{nM}{V}.
  • Da lei dos gases isolamos n/V:
    \frac{n}{V} = \frac{P}{R T}.
  • Substituindo em \rho:
    \rho = M\frac{n}{V} = M\frac{P}{R T}.
Portanto a densidade do ar, expressa em função de P, T e M, é
\rho = \frac{M}{R T}\,P.
Explicando: M/(R T) é um fator que depende só da massa molar e da temperatura; multiplicando por P obtém-se a densidade.

Passo 4

Substituir a expressão de \rho na equação de equilíbrio hidrostático para obter a equação barométrica pedida na parte (a).
  • Partimos de
    \frac{dP}{dz} = -\rho\,g.
  • Usando \rho = \dfrac{M}{R T}P obtemos
    \frac{dP}{dz} = -\left(\frac{M}{R T}P\right)g = -\frac{M g}{R T}\,P.
Isso é exatamente a equação barométrica pedida:
\frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
Aqui ficou claro que a taxa de variação da pressão com a altitude é proporcional à própria pressão quando a temperatura é tomada como constante ou tratada como parâmetro.

Passo 5

Verificar que, para temperatura constante, P(z)/\rho(z) é constante e igual a seu valor ao nível do mar.
  • Da relação que encontramos para a densidade:
    \rho(z)=\frac{M}{R T}\,P(z).
  • Invertendo-a:
    \frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{R T}{M}.
O lado direito depende apenas de R, T e M, e com T constante isso é uma constante. Em particular, avaliando em z=0 (nível do mar) obtém-se
\frac{P_{0}}{\rho_{0}}=\frac{R T}{M}.
Comparando, concluímos
\frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{P_{0}}{\rho_{0}}=\frac{R T}{M}=\text{cte}.
Ou seja, P/\rho é constante com z se T é constante.

Passo 6

Resolver a equação diferencial obtida na parte (a) assumindo T constante (separação de variáveis).
  • A equação é
    \frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
    É uma equação diferencial ordinária linear de 1.º ordem, homogênea, ou vista de forma mais simples, é separável.
  • Reescrevendo por separação de variáveis:
    \frac{dP}{P} = -\frac{M g}{R T}\,dz.
  • Integramos ambos os lados. A integral de dP/P é \ln P. Vamos integrar de z=0 (onde P=P_{0}) até altitude z (onde P=P(z)):
    \int_{P_{0}}^{P(z)}\frac{dP'}{P'} = -\frac{M g}{R T}\int_{0}^{z}dz'.
  • Isso dá
    \ln\!\left(\frac{P(z)}{P_{0}}\right) = -\frac{M g}{R T}\,z.
  • Expondo ambos os lados:
    P(z)=P_{0}\,\exp\!\left(-\frac{M g}{R T}\,z\right).
  • Definindo \lambda como
    \lambda=\frac{M g}{R T},
    obtemos a forma apresentada:
    P(z)=P_{0}e^{-\lambda z}.
Essa é a lei de Halley (barométrica) para atmosfera isotérmica.

Passo 7

Mostrar a equivalência \lambda=\rho_{0} g / P_{0} e comentar a interpretação física.
  • Usando \rho_{0}=\dfrac{M}{R T}P_{0} (a fórmula da densidade avaliada em z=0), calculamos
    \frac{\rho_{0} g}{P_{0}} = \frac{M}{R T}P_{0}\frac{g}{P_{0}} = \frac{M g}{R T}.
    Portanto
    \lambda=\frac{M g}{R T}=\frac{\rho_{0} g}{P_{0}}.
  • Interpretação física rápida: \lambda^{-1} tem dimensão de comprimento e é a escala de altura na qual a pressão (e a densidade) decai por um fator e. Para alturas pequenas em relação a \lambda^{-1} a pressão muda pouco; para alturas comparáveis a \lambda^{-1} a pressão cai significativamente.

Passo 8

Calcular numericamente a diferença de pressão entre z=850\\ \mathrm{m} e z=0 usando os dados dados.
  • Primeiro calculo de \lambda com os números fornecidos. Usarei P_{0}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \rho_{0}=1,23\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    \lambda=\frac{\rho_{0} g}{P_{0}}=\frac{1,23\cdot9,8}{1,013\times10^{5}}.
  • Faço as contas em etapas:
    1,23\cdot9,8 = 12,054.
\lambda=\frac{12,054}{101300}\approx 1,19\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcular \lambda z para z=850\\ \mathrm{m}:
    \lambda z \approx 1,19\times10^{-4}\cdot850 \approx 0,101.
  • Então
    P(850)=P_{0}e^{-\lambda z}\approx P_{0}e^{-0,101}\approx P_{0}\cdot0,904.
    Usando P_{0}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
    P(850)\approx 1,013\times10^{5}\cdot0,904 \approx 9,16\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • A diferença de pressão entre nível do mar e z=850\\ \mathrm{m} é
    \Delta P = P_{0}-P(850)\approx 1,013\times10^{5}-9,16\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
\Delta P \approx 9,7\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em outras unidades úteis:
    • \Delta P\approx 9,7\\ \mathrm{kPa}.
    • Em hectoPascal (hPa): \Delta P\approx97\\ \text{hPa}.
    • Como fração de P_{0}: \Delta P/P_{0}\approx0,096 (ou seja, uma queda de cerca de 9{,}6\%).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
(b) \displaystyle \frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{P_{0}}{\rho_{0}}=\frac{R T}{M}=\text{cte} e \displaystyle P(z)=P_{0}e^{-\lambda z},\\ \text{com}\\ \lambda=\frac{\rho_{0} g}{P_{0}}=\frac{M g}{R T}.
(c) \displaystyle \Delta P = P_{0}-P(850\\ \mathrm{m})\approx 9,7\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx97\\ \mathrm{hPa},\\ \text{queda}\approx9{,}6\%).

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