Atmosfera isotérmica (ou exponencial):
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura
, massa total
e área
. Como a fatia está em repouso, vimos em aula que
, a taxa de variação da pressão com a altitude, é dada por
onde
é a densidade do ar atmosférico. Use a lei dos gases ideais,
, para escrever a densidade do ar em termos de sua pressão, temperatura e da massa da amostra de ar (exprima a massa
em termos da massa molar
discutida na questão 6). Mostre que a pressão obedece à equação diferencial
que é chamada de a equação barométrica.
b) Suponha constante a temperatura
(atmosfera isotérmica) e verifique que
cte, onde
é a pressão ao nível do mar, i.e.,
. Resolva a equação diferencial obtida na parte (a), obtendo a pressão
como função da altitude
(lei de Halley):
onde
.
c) Estime a diferença de pressão entre Nova Friburgo (
acima do nível do mar) e Rio de Janeiro (nível do mar). Considere
e
.
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura
b) Suponha constante a temperatura
c) Estime a diferença de pressão entre Nova Friburgo (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
-
O enunciado pede:
(a) Usando a lei dos gases ideais, expressar a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e massa da amostra, escrever a massa total em termos da massa molar e mostrar que a pressão satisfaz a equação (b) Assumindo temperatura constante(atmosfera isotérmica), verificar que é constante (igual a seu valor ao nível do mar) e resolver a equação diferencial da parte (a) para obter a lei de Halley com.
(c) Estimar numericamente a diferença de pressão entre Nova Friburgo () e o nível do mar, usando e . O enunciado indica . -
Informações fornecidas e constantes que usarei:
- Lei dos gases ideais:
. - Massa molar do ar (símbolo dado no enunciado):
(unidade ). - Massa total da fatia de ar:
. - Densidade:
. - Equilíbrio hidrostático:
. - Valores numéricos para (c):
, , e tomarei (valor usual de em Pascal).
- Lei dos gases ideais:
Passo 2
Expressar a massa total
da fatia de ar em termos da massa molar
e o número de mols
.
- Definição: a massa total
é igual ao número de mols multiplicado pela massa molar : Aqui: -
é a massa total da fatia de ar (em ), -
é o número de mols na fatia, -
é a massa molar (em ).
-
Isso é direto: cada mol tem massa
, então
mols têm massa
.
Passo 3
Usar a lei dos gases ideais para escrever a densidade
em função de
,
e
.
-
A lei dos gases ideais, em forma usual, éonde:
-
é a pressão (Pa), -
é o volume (m^3), -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (K).
-
-
A densidade é
. Substituindo temos -
Da lei dos gases isolamos
: -
Substituindo em
:
Portanto a densidade do ar, expressa em função de
,
e
, é
Explicando:
é um fator que depende só da massa molar e da temperatura; multiplicando por
obtém-se a densidade.
Passo 4
Substituir a expressão de
na equação de equilíbrio hidrostático para obter a equação barométrica pedida na parte (a).
-
Partimos de
-
Usando
obtemos
Isso é exatamente a equação barométrica pedida:
Aqui ficou claro que a taxa de variação da pressão com a altitude é proporcional à própria pressão quando a temperatura é tomada como constante ou tratada como parâmetro.
Passo 5
Verificar que, para temperatura constante,
é constante e igual a seu valor ao nível do mar.
-
Da relação que encontramos para a densidade:
-
Invertendo-a:
O lado direito depende apenas de
,
e
, e com
constante isso é uma constante. Em particular, avaliando em
(nível do mar) obtém-se
Comparando, concluímos
Ou seja,
é constante com
se
é constante.
Passo 6
Resolver a equação diferencial obtida na parte (a) assumindo
constante (separação de variáveis).
-
A equação éÉ uma equação diferencial ordinária linear de 1.º ordem, homogênea, ou vista de forma mais simples, é separável.
-
Reescrevendo por separação de variáveis:
-
Integramos ambos os lados. A integral de
é . Vamos integrar de (onde ) até altitude (onde ): -
Isso dá
-
Expondo ambos os lados:
-
Definindo
como obtemos a forma apresentada:
Essa é a lei de Halley (barométrica) para atmosfera isotérmica.
Passo 7
Mostrar a equivalência
e comentar a interpretação física.
-
Usando
(a fórmula da densidade avaliada em ), calculamos Portanto -
Interpretação física rápida:
tem dimensão de comprimento e é a escala de altura na qual a pressão (e a densidade) decai por um fator . Para alturas pequenas em relação a a pressão muda pouco; para alturas comparáveis a a pressão cai significativamente.
Passo 8
Calcular numericamente a diferença de pressão entre
e
usando os dados dados.
-
Primeiro calculo de
com os números fornecidos. Usarei , e . -
Faço as contas em etapas:
-
Calcular
para : -
EntãoUsando
, -
A diferença de pressão entre nível do mar e
é
- Em outras unidades úteis:
-
. - Em hectoPascal (hPa):
. - Como fração de
: (ou seja, uma queda de cerca de ).
-
Resposta
(a)
(b) e
(c)
(b)
(c)