4.12- Uma bala de chumbo de 3,00 \mathrm{~g} a 30,0^{\circ} \mathrm{C} é disparada a uma velocidade de 240 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um grande bloco de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} ao qual fica presa.
Calcule a massa de gelo que derrete.
Dados: calor específico do chumbo c= 0,0305 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, calor latente de fusāo do gelo L=79,8 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.
Halliday; Resnick; Walker, 8 ed/ext, 20.13]

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pedido: calcular a massa de gelo que derrete quando uma bala de chumbo fica presa num bloco de gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da bala: m_{\text{b}} = 3{,}00\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial da bala: T_i = 30{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do gelo (e temperatura final assumida do sistema após troca de calor): 0^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade da bala: v = 240\\ \mathrm{m/s}.
    • Calor específico do chumbo: c = 0{,}0305\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de fusão do gelo: L = 79{,}8\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
    • Constante de conversão de energia (usar para converter Joules em calorias): 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}186\\ \mathrm{J}.
Observação importante que vamos assumir (hipótese do enunciado típico): toda a energia cinética da bala e o calor liberado ao resfriar a bala de 30{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} é usada para fundir gelo — ou seja, desprezamos perdas para o ar, calor para o bloco além do necessário para fusão, radiação, etc.

Passo 2

Entender fisicamente e escrever a equação de conservação de energia (forma que usaremos).
Explicando a ideia: a bala traz duas formas de energia que podem derreter gelo:
  1. Energia térmica armazenada na bala por estar a 30{,}0^\circ\mathrm{C} (comparada a 0^\circ\mathrm{C}); ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C} ela libera calor.
  2. Energia cinética da bala ao se mover; ao parar dentro do gelo essa energia vira calor (atrito, deformação) e também ajuda a fundir gelo.
A equação de conservação de energia, no nosso modelo ideal, é:
Q_{\text{disponível}} = Q_{\text{resfriamento da bala}} + E_{\text{cinética (em cal)}},íé
e essa energia disponível serve para fundir uma massa de gelo m_{\text{gelo}} pela relação
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{gelo}} \, L,í
onde:
  • Q_{\text{resfriamento da bala}\!} é o calor que a bala libera ao baixar de T_i para 0^\circ\mathrm{C};
  • E_{\text{cinética (em cal)}}é é a energia cinética da bala convertida para unidades de calor (calorias);
  • L é o calor latente de fusão do gelo ( \mathrm{cal}/\mathrm{g});
  • m_{\text{gelo}} é a massa de gelo fundida (em g).

Passo 3

Calcular o calor liberado pela bala ao resfriar de 30{,}0^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}.
Fórmula do calor sensível: o calor trocado ao variar a temperatura de uma massa é
Q = m \, c \, \Delta T,
onde m é a massa (em g), c é o calor específico (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}) e \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}). Aqui a bala esfria, logo libera calor (valor positivo para a energia disponível).
Aplicando ao caso:
\Delta T = T_i - 0^\circ\mathrm{C} = 30{,}0^\circ\mathrm{C}.
Q_{\text{resfriamento}} = m_{\text{b}} \, c \, \Delta T = 3{,}00 \cdot 0{,}0305 \cdot 30{,}0\\ \mathrm{cal}.
Calculemos:
0{,}0305 \cdot 30{,}0 = 0{,}915
3{,}00 \cdot 0{,}915 = 2{,}745\\ \mathrm{cal}.
Portanto
Q_{\text{resfriamento}} = 2{,}745\\ \mathrm{cal}.
Comentário didático curto: o calor específico c diz quanta energia (em calorias) é necessária para elevar 1 grama do material em 1^\circ\mathrm{C}. Aqui invertendo a lógica, a bala perde essa energia ao esfriar.

Passo 4

Calcular a energia cinética da bala e converter para calorias.
Fórmula da energia cinética:
E_k = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa em kg no SI e v é a velocidade em \mathrm{m/s}. Vamos calcular em Joules e depois converter para calorias usando 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}186\\ \mathrm{J}.
Primeiro converter massa para kg:
m_{\text{b}} = 3{,}00\\ \mathrm{g} = 0{,}00300\\ \mathrm{kg}.
Calcule E_k:
E_k = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}00300 \cdot (240)^2\\ \mathrm{J}.
(240)^2 = 57\,600, \qquad E_k = 0{,}0015 \cdot 57\,600 = 86{,}4\\ \mathrm{J}.
Agora converter para calorias:
E_{k,\text{(cal)}} = \frac{E_k}{4{,}186} = \frac{86{,}4}{4{,}186}\\ \mathrm{cal}.
Fazendo a divisão:
E_{k,\text{(cal)}} \approx 20{,}6397\\ \mathrm{cal}.
(Arredondaremos depois com coerência de algarismos significativos.)

Passo 5

Somar as energias disponíveis e calcular a massa de gelo fundida.
Energia total disponível para fusão:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{resfriamento}} + E_{k,\text{(cal)}} = 2{,}745 + 20{,}6397 \approx 23{,}3847\\ \mathrm{cal}.
A massa de gelo fundida m_{\text{gelo}} é dada por
m_{\text{gelo}} = \frac{Q_{\text{total}}}{L} = \frac{23{,}3847}{79{,}8}\\ \mathrm{g}.
Calcule:
m_{\text{gelo}} \approx 0{,}2929\\ \mathrm{g}.
Em termos de algarismos significativos (os dados iniciais têm tipicamente 3 algarismos significativos: 3{,}00\\ \mathrm{g}, 30{,}0^\circ\mathrm{C}, 240\\ \mathrm{m/s}), arredondamos para três algarismos significativos:
m_{\text{gelo}} \approx 0{,}293\\ \mathrm{g}.

Resposta

0,293\\ \mathrm{g}

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