Calcule a energia total acumulada no campo elétrico do capacitor do problema anterior e a densidade de energia, antes e depois de o dielétrico ser inserido. Para onde foi a energia?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia total acumulada no campo elétrico do capacitor e a densidade de energia, antes e depois de inserir o dielétrico, e explicar para onde foi (ou de onde veio) a energia.
O problema “anterior” não foi enviado; portanto não tenho valores numéricos nem a figura específica. Para não inventar dados, vou resolver o problema de forma geral usando as quantidades usuais (capacitância sem dielétrico \,C_0\,, constante dielétrica \,\kappa\,, carga \,Q\,, tensão \,V\,, área das placas \,A\,, separação \,d\,, permissividade do vácuo \,\varepsilon_0\,, permissividade do dielétrico \,\varepsilon=\kappa\varepsilon_0) e vou tratar os dois cenários fisicamente distintos que importam para energia: (A) capacitor isolado (carga \,Q fixa) e (B) capacitor ligado a bateria (tensão \,V fixa). Esses dois casos dão respostas qualitativamente diferentes para a energia. Vou mostrar passo a passo as fórmulas e interpretar onde vai/ouve a energia.

Passo 2

Modelos e definições básicas (explicando cada símbolo e fórmula que vou usar):
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; A é a área das placas; d é a distância entre placas.
  • Capacitância com dielétrico uniforme de constante \kappa preenchendo totalmente:
C=\kappa C_0=\frac{\varepsilon A}{d},
onde \varepsilon=\kappa\varepsilon_0.
  • Relações de energia do capacitor (três formas equivalentes; explico cada variável):
U=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV,
onde \,U é a energia armazenada, \,Q é a carga nas placas, \,C é a capacitância, \,V é a diferença de potencial entre as placas.
  • Campo elétrico entre placas (assumindo placas grandes, campo uniforme):
E=\frac{V}{d}.
Se quisermos em termos de carga superficial \sigma=Q/A, em ausência de dielétrico E_0=\sigma/\varepsilon_0, e com dielétrico E=\sigma/\varepsilon=\sigma/(\kappa\varepsilon_0) quando Q é fixo.
  • Densidade volumétrica de energia elétrica no meio linear e isotrópico:
u=\frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2,
onde \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \varepsilon é a permissividade do meio. No vácuo \varepsilon=\varepsilon_0; no dielétrico \varepsilon=\kappa\varepsilon_0.
Vou agora aplicar essas fórmulas para os dois cenários (Q fixo e V fixo), fazendo contas detalhadas e explicando cada passo.

Passo 3

Caso A — capacitor isolado (carga \,Q constante).
Explicação física: isolamento significa que nenhuma carga entra ou sai; ao inserir o dielétrico a carga Q nas placas permanece igual.
  • Energia antes da inserção (sem dielétrico):
U_0=\frac{Q^2}{2C_0}.
Aqui \,C_0 é a capacitância sem dielétrico.
  • Energia depois da inserção (capacitância aumenta para C=\kappa C_0):
U_1=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2(\kappa C_0)}=\frac{1}{\kappa}\,\frac{Q^2}{2C_0}=\frac{U_0}{\kappa}.
Portanto a energia total armazenada diminui por um fator \kappa.
  • Variação da energia:
\Delta U=U_1-U_0=U_0\!\left(\frac{1}{\kappa}-1\right)<0.
A energia diminui (porque \kappa>1 para um dielétrico usual).
  • Densidade de energia: primeiro escrevo o campo inicial em termos de Q. Sem dielétrico,
E_0=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}.
Com dielétrico, mantendo Q fixo,
E_1=\frac{Q}{\varepsilon A}=\frac{Q}{\kappa\varepsilon_0 A}=\frac{E_0}{\kappa}.
Agora a densidade antes e depois:
u_0=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2, \qquad u_1=\frac{1}{2}\varepsilon E_1^2=\frac{1}{2}(\kappa\varepsilon_0)\left(\frac{E_0}{\kappa}\right)^2=\frac{1}{\kappa}\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2=\frac{u_0}{\kappa}.
Ou seja, a densidade de energia também cai por um fator \kappa.
  • Interpretação energética (onde foi a energia): a energia armazenada no campo diminuiu. Essa diferença de energia |\Delta U| é convertida em trabalho mecânico realizado sobre o dielétrico enquanto ele é atraído para dentro do capacitor (o campo exerce força que puxa o dielétrico para dentro). Se a inserção for feita de modo que não haja perda por aquecimento (processo quasiestático), a energia perdida do campo aparece como trabalho mecânico extraído; se houver movimento com dissipação, parte vai como calor. Conclusão: no caso isolado, energia do campo → trabalho mecânico (ou calor se houver dissipação).

Passo 4

Caso B — capacitor ligado a bateria (tensão \,V constante).
Explicação física: a bateria mantém \,V constante entre as placas; quando a capacitância aumenta, a bateria fornece carga adicional para manter a tensão.
  • Energia antes da inserção:
U_0=\frac{1}{2}C_0V^2.
  • Energia depois da inserção ( C=\kappa C_0):
U_1=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}(\kappa C_0)V^2=\kappa U_0.
A energia aumenta por um fator \kappa.
  • Variação da energia:
\Delta U=U_1-U_0=U_0(\kappa-1)>0.
  • Densidade de energia: com \,V fixo e geometria fixa, o campo entre as placas permanece
E=\frac{V}{d},
portanto E não muda ao inserir o dielétrico (assumindo dielétrico preenchendo o espaço entre placas). A densidade antes e depois:
u_0=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2, \qquad u_1=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\kappa\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\kappa u_0.
Logo a densidade de energia aumenta por fator \kappa.
  • Interpretação energética (onde veio a energia): a energia extra armazenada no campo veio da bateria. A bateria fez trabalho ao transferir carga adicional para o capacitor quando a capacitância aumentou; esse trabalho é exatamente \Delta U (mais eventualmente o trabalho mecânico realizado sobre o dielétrico, dependendo do processo). Quanto à força que puxa o dielétrico: o campo tende a atrair o dielétrico para dentro; se o dielétrico for deixado ir sozinho, parte da energia fornecida pela bateria pode transformar-se em energia cinética e depois em calor; se um agente externo impede o movimento, parte da energia fornecida pela bateria vai apenas para aumentar a energia eletrostática. Em resumo: no caso ligado à bateria, energia da bateria → aumento da energia armazenada no campo (e possivelmente também trabalho mecânico/ calor dependendo de como a inserção é feita).

Passo 5

Resumo físico comparativo e observações práticas (dicas para a prova, passo a passo mental):
  • Sempre identifique se a carga Q ou a tensão V é mantida fixa — isso muda completamente o sinal da variação de energia. Não se esqueça: isolado → Q fixo; ligado à bateria → V fixo.
  • Use as três formas de U conforme o que está fixo: se Q fixo, prefira U=Q^2/(2C). Se V fixo, prefira U=\tfrac{1}{2}CV^2. Se quiser relacionar Q e V use Q=CV e U=\tfrac{1}{2}QV.
  • Para densidade use sempre u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^2 e lembre que \varepsilon muda com o dielétrico e E pode mudar ou não dependendo se Q ou V é fixo.
  • Interpretação energética: diminuição de U → trabalho mecânico realizado pelo campo (energia sai do campo); aumento de U → energia entrou (geralmente vinda da bateria).

Resposta

Isolado ( Q constante): U_0=\dfrac{Q^2}{2C_0},\;U_1=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{U_0}{\kappa},\;u_0=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2,\;u_1=\dfrac{1}{2}\varepsilon E_1^2=\dfrac{u_0}{\kappa}. A energia perdida |\Delta U|=U_0(1-1/\kappa) foi convertida em trabalho mecânico realizado ao atrair o dielétrico (ou em calor se houver dissipação).
Ligado à bateria ( V constante): U_0=\dfrac{1}{2}C_0V^2,\;U_1=\dfrac{1}{2}CV^2=\kappa U_0,\;u_0=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2,\;u_1=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2=\kappa u_0. A energia adicional \Delta U=U_0(\kappa-1) veio da bateria (e parte pode ir em trabalho mecânico ou dissipação dependendo do processo de inserção).

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