Calcule a energia total acumulada no campo elétrico do capacitor do problema anterior e a densidade de energia, antes e depois de o dielétrico ser inserido. Para onde foi a energia?
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia total acumulada no campo elétrico do capacitor e a densidade de energia, antes e depois de inserir o dielétrico, e explicar para onde foi (ou de onde veio) a energia.
O problema “anterior” não foi enviado; portanto não tenho valores numéricos nem a figura específica. Para não inventar dados, vou resolver o problema de forma geral usando as quantidades usuais (capacitância sem dielétrico constante dielétrica
carga
tensão
área das placas
separação
permissividade do vácuo
permissividade do dielétrico
) e vou tratar os dois cenários fisicamente distintos que importam para energia: (A) capacitor isolado (carga
fixa) e (B) capacitor ligado a bateria (tensão
fixa). Esses dois casos dão respostas qualitativamente diferentes para a energia. Vou mostrar passo a passo as fórmulas e interpretar onde vai/ouve a energia.
O problema “anterior” não foi enviado; portanto não tenho valores numéricos nem a figura específica. Para não inventar dados, vou resolver o problema de forma geral usando as quantidades usuais (capacitância sem dielétrico
Passo 2
Modelos e definições básicas (explicando cada símbolo e fórmula que vou usar):
- Capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
onde
é a permissividade do vácuo;
é a área das placas;
é a distância entre placas.
- Capacitância com dielétrico uniforme de constante
preenchendo totalmente:
onde
.
- Relações de energia do capacitor (três formas equivalentes; explico cada variável):
onde
é a energia armazenada,
é a carga nas placas,
é a capacitância,
é a diferença de potencial entre as placas.
- Campo elétrico entre placas (assumindo placas grandes, campo uniforme):
Se quisermos em termos de carga superficial
, em ausência de dielétrico
, e com dielétrico
quando
é fixo.
- Densidade volumétrica de energia elétrica no meio linear e isotrópico:
onde
e
é a permissividade do meio. No vácuo
; no dielétrico
.
Vou agora aplicar essas fórmulas para os dois cenários (Q fixo e V fixo), fazendo contas detalhadas e explicando cada passo.
Passo 3
Caso A — capacitor isolado (carga
constante).
Explicação física: isolamento significa que nenhuma carga entra ou sai; ao inserir o dielétrico a carga nas placas permanece igual.
Explicação física: isolamento significa que nenhuma carga entra ou sai; ao inserir o dielétrico a carga
- Energia antes da inserção (sem dielétrico):
Aqui
é a capacitância sem dielétrico.
- Energia depois da inserção (capacitância aumenta para
):
Portanto a energia total armazenada diminui por um fator
.
- Variação da energia:
A energia diminui (porque
para um dielétrico usual).
- Densidade de energia: primeiro escrevo o campo inicial em termos de
. Sem dielétrico,
Com dielétrico, mantendo
fixo,
Agora a densidade antes e depois:
Ou seja, a densidade de energia também cai por um fator
.
- Interpretação energética (onde foi a energia): a energia armazenada no campo diminuiu. Essa diferença de energia
é convertida em trabalho mecânico realizado sobre o dielétrico enquanto ele é atraído para dentro do capacitor (o campo exerce força que puxa o dielétrico para dentro). Se a inserção for feita de modo que não haja perda por aquecimento (processo quasiestático), a energia perdida do campo aparece como trabalho mecânico extraído; se houver movimento com dissipação, parte vai como calor. Conclusão: no caso isolado, energia do campo → trabalho mecânico (ou calor se houver dissipação).
Passo 4
Caso B — capacitor ligado a bateria (tensão
constante).
Explicação física: a bateria mantém constante entre as placas; quando a capacitância aumenta, a bateria fornece carga adicional para manter a tensão.
Explicação física: a bateria mantém
- Energia antes da inserção:
- Energia depois da inserção (
):
A energia aumenta por um fator
.
- Variação da energia:
- Densidade de energia: com
fixo e geometria fixa, o campo entre as placas permanece
portanto
não muda ao inserir o dielétrico (assumindo dielétrico preenchendo o espaço entre placas). A densidade antes e depois:
Logo a densidade de energia aumenta por fator
.
- Interpretação energética (onde veio a energia): a energia extra armazenada no campo veio da bateria. A bateria fez trabalho ao transferir carga adicional para o capacitor quando a capacitância aumentou; esse trabalho é exatamente
(mais eventualmente o trabalho mecânico realizado sobre o dielétrico, dependendo do processo). Quanto à força que puxa o dielétrico: o campo tende a atrair o dielétrico para dentro; se o dielétrico for deixado ir sozinho, parte da energia fornecida pela bateria pode transformar-se em energia cinética e depois em calor; se um agente externo impede o movimento, parte da energia fornecida pela bateria vai apenas para aumentar a energia eletrostática. Em resumo: no caso ligado à bateria, energia da bateria → aumento da energia armazenada no campo (e possivelmente também trabalho mecânico/ calor dependendo de como a inserção é feita).
Passo 5
Resumo físico comparativo e observações práticas (dicas para a prova, passo a passo mental):
- Sempre identifique se a carga
ou a tensão é mantida fixa — isso muda completamente o sinal da variação de energia. Não se esqueça: isolado → fixo; ligado à bateria → fixo. - Use as três formas de
conforme o que está fixo: se fixo, prefira . Se fixo, prefira . Se quiser relacionar e use e . - Para densidade use sempre
e lembre que muda com o dielétrico e pode mudar ou não dependendo se ou é fixo. - Interpretação energética: diminuição de
→ trabalho mecânico realizado pelo campo (energia sai do campo); aumento de → energia entrou (geralmente vinda da bateria).
Resposta
Isolado (
constante):
A energia perdida
foi convertida em trabalho mecânico realizado ao atrair o dielétrico (ou em calor se houver dissipação).
Ligado à bateria (
constante):
A energia adicional
veio da bateria (e parte pode ir em trabalho mecânico ou dissipação dependendo do processo de inserção).