Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas possuem raios de 0,2 ,
0,5 e 0,8 \mathrm{~m}. O espaço entre as cascas é preenchido com ar. Os tubos mais interno e mais externo têm carga + Q e são conectados em uma de suas extremidades a um fio condutor. O tubo intermediário tem carga -Q. Determine a capacitância por unidade de comprimento desse sistema.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (resumindo o que foi dado e o que se pede):
Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas com raios:r_1 = 0{,}2\\ \text{m},\qquad r_2 = 0{,}5\\ \text{m},\qquad r_3 = 0{,}8\\ \text{m}.
O espaço entre as cascas é preenchido com ar (portanto permitividade \varepsilon=\varepsilon_0).
Os tubos mais interno e mais externo estão conectados por um fio condutor, formando um único condutor (vou chamar esse condutor combinado de AC), e têm carga total +Q.
O tubo intermediário (o do raio r_2) tem carga -Q.
O objetivo: determinar a capacitância por unidade de comprimento do sistema (isto é, C' em F/m), onde a capacitância é entre o condutor combinado AC (inner+outer conectados) e o condutor do meio.
Passo 2
Estratégia e variáveis: como os condutores são longos e coaxiais, há simetria cilíndrica e os campos só dependem da coordenada radial r. Vou trabalhar em termos de carga por unidade de comprimento:
\lambda \equiv \frac{Q}{L},
onde L é um comprimento arbitrário. Também chamo de \lambda_1 a densidade linear da carga que fica na superfície interna do condutor combinado (superfície no raio r_1); a restante carga do condutor combinado fica na superfície externa (r_3). O condutor do meio tem densidade total -\lambda. A capacitância por unidade de comprimento C' é dada por
C'=\frac{\text{carga por unidade de comprimento na uma placa}}{\text{diferença de potencial entre condutores}}=\frac{\lambda}{V},
onde V é a diferença de potencial entre o condutor combinado AC e o condutor do meio.
Passo 3
Campo elétrico usando Lei de Gauss (aula rápida e aplicada):
Para um cilindro longo com densidade linear de carga \lambda_{\text{enc}} contido em raio menor que r, a Lei de Gauss dá
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)\, (2\pi r L)=\frac{\lambda_{\text{enc}} L}{\varepsilon_0},
Para r_1<r<r_2 (entre casca interna e casca do meio) o campo é gerado apenas pela carga na superfície interna do condutor combinado; chamamos essa carga total q_1 (então densidade \lambda_1=q_1/L). AssimE(r)=\frac{\lambda_1}{2\pi\varepsilon_0\,r}\quad(r_1<r<r_2).
Para r_2<r<r_3 (entre casca do meio e casca externa) o campo é gerado pela soma das cargas internas (isto é, q_1 do condutor combinado) e pela carga total do condutor do meio (que é -Q). Assim a carga encerrada é q_1-Q eE(r)=\frac{\lambda_1-\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\quad(r_2<r<r_3),onde \lambda=Q/L.
Explicação didática: a razão é que, por simetria, qualquer carga numa casca condutora aparece nas superfícies; a Lei de Gauss permite obter E(r) diretamente em função da carga encerrada.
Passo 4
Condição de equipotencial entre as superfícies do condutor combinado: como os tubos interno e externo estão conectados, as superfícies em r_1 e r_3 estão ao mesmo potencial. Vou tomar como referência o potencial no exterior (fora de r_3) igual a zero — na prática o campo fora é nulo (soma das cargas +Q e -Q é zero), então V(r_3)=0. A partir de V(r)=-\int_r^{r_3} E(r')\,dr' temos:
Breve comentário: \lambda_1 é a parte da densidade linear que fica na superfície interna do condutor combinado; o restante \lambda-\lambda_1 fica na superfície externa r_3. Tudo isso veio da condição de que r_1 e r_3 estão ao mesmo potencial.
Passo 5
Cálculo da diferença de potencial V entre o condutor combinado AC e o condutor do meio B:
Tomando V como V_{AC}-V_B e lembrando V_{AC}=V(r_3)=0, então