Considere duas esferas condutoras carregadas com a mesma carga, em módulo, mas com sinais opostos + Q e -Q, que possuem raios a e b e têm seus centros separados por uma distância d. (a) Mostre que a capaitância do sistema, para d muito maior que os raios, é
(b) Demonstre que quando
, o resultado acima reduz-se àquele de dois capacitores esféricos em série.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que, para duas esferas condutoras com cargas
e , raios e e centros separados por uma distância muito maior que os raios, a capacitância do sistema é
- (b) Demonstrar que, quando
, a expressão acima reduz-se ao resultado correspondente a dois capacitores esféricos em série.
Dados fornecidos e relevantes:
- Esfera 1: carga
, raio . - Esfera 2: carga
, raio . - Distância entre centros:
, com (isso justifica aproximações). - Constante do meio:
. - Precisamos encontrar a capacitância do sistema
definida pela relação entre carga e diferença de potencial entre as esferas.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
- Definição de capacitância: para duas condutoras com cargas
e , a capacitância é a razão entre a carga em módulo e a diferença de potencial entre as condutoras:
onde
é a diferença de potencial eletrostático entre a esfera carregada positivamente (potencial
) e a esfera carregada negativamente (potencial
).
- Potencial de uma carga pontual: o potencial elétrico devido a uma carga
em distância no vácuo é
- Potencial de uma esfera condutora isolada de raio
com carga : como toda a carga reside na superfície e, fora da esfera, o campo é igual ao de uma carga pontual no centro, o potencial da superfície é
- Princípio da superposição: o potencial total em um ponto é soma dos potenciais de cada carga/condutor independentemente; portanto o potencial de cada esfera é soma do potencial devido à sua própria carga mais o potencial devido à outra esfera.
- Aproximação válida para
: podemos tratar cada esfera, para efeitos de cálculo do potencial na sua superfície, como se toda a carga estivesse concentrada no seu centro e a outra esfera como uma carga pontual localizada a distância (daí usamos para contribuição mútua).
Passo 3
Aplicando a ideia de superposição e a aproximação de cargas puntiformes nos centros das esferas:
Potencial da esfera 1 (raio
, carga
):
- Contribuição da própria carga (auto-potencial):
. - Contribuição da esfera 2 (carga
localizada aproximadamente no centro a distância ): .
Somando,
Expliquei: aqui usei que a esfera 2 dá um potencial
sobre a superfície da esfera 1, porque estamos a distância aproximadamente
entre centros e
faz essa aproximação boa.
Passo 4
Potencial da esfera 2 (raio
, carga
):
- Contribuição da própria carga:
. - Contribuição da esfera 1 (carga
à distância ): .
Somando,
Novamente, isso vem da superposição e da aproximação ponto-carga para cada esfera.
Passo 5
Calcular a diferença de potencial entre as esferas:
Substituindo
e
obtidos acima:
Agora vamos agrupar termos cuidadosamente. Colocando o fator comum
e fator
:
Somando os termos dentro dos parênteses:
Expliquei passo a passo como cada termo aparece e somei os
vindos de
e de
.
Passo 6
Usar a definição de capacitância
. Substituindo
obtido:
Cancelando
no numerador e denominador:
Isso é exatamente a expressão pedida no item (a).
Passo 7
Agora tratamos o item (b): tomar o limite
na expressão encontrada. Observe a expressão de
:
Quando
, o termo
. Portanto
Passo 8
Interpretando o resultado do limite como dois capacitores esféricos em série:
- Capacitância de uma esfera isolada de raio
relativamente ao infinito é . Então para as duas esferas isoladas temos
- A capacitância equivalente de dois capacitores em série satisfaz
Substituindo
e
,
Invertendo:
que coincide com
encontrado no passo anterior. Assim mostramos que, quando
, o sistema se comporta como duas esferas (cada uma com capacitância
vezes seu raio) em série.
Passo 9
Comentário final sobre validade (rápido e claro):
- A dedução usa a aproximação de que cada esfera pode ser tratada como carga concentrada em seu centro para calcular o potencial na superfície da outra esfera; essa aproximação é válida porque assumimos
. Para distâncias não muito grandes comparadas aos raios, seriam necessários termos de ordem superior (imagens, desenvolvimento multipolar) e a fórmula acima perderia precisão.