Considere duas esferas condutoras carregadas com a mesma carga, em módulo, mas com sinais opostos + Q e -Q, que possuem raios a e b e têm seus centros separados por uma distância d. (a) Mostre que a capaitância do sistema, para d muito maior que os raios, é
C=\frac{4 \pi \epsilon_{0}}{1 / a+1 / b-2 / d}
(b) Demonstre que quando d \rightarrow \infty, o resultado acima reduz-se àquele de dois capacitores esféricos em série.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que, para duas esferas condutoras com cargas +Q e -Q, raios a e b e centros separados por uma distância d muito maior que os raios, a capacitância do sistema é
C=\frac{4 \pi \epsilon_{0}}{1 / a+1 / b-2 / d}.
  1. (b) Demonstrar que, quando d \rightarrow \infty, a expressão acima reduz-se ao resultado correspondente a dois capacitores esféricos em série.
Dados fornecidos e relevantes:
  • Esfera 1: carga +Q, raio a.
  • Esfera 2: carga -Q, raio b.
  • Distância entre centros: d, com d\gg a,b (isso justifica aproximações).
  • Constante do meio: \epsilon_{0}.
  • Precisamos encontrar a capacitância do sistema C definida pela relação entre carga e diferença de potencial entre as esferas.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Definição de capacitância: para duas condutoras com cargas +Q e -Q, a capacitância é a razão entre a carga em módulo e a diferença de potencial entre as condutoras:
C=\frac{Q}{\Delta V},
onde \Delta V = V_1 - V_2 é a diferença de potencial eletrostático entre a esfera carregada positivamente (potencial V_1) e a esfera carregada negativamente (potencial V_2).
  • Potencial de uma carga pontual: o potencial elétrico devido a uma carga q em distância r no vácuo é
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}.
  • Potencial de uma esfera condutora isolada de raio R com carga q: como toda a carga reside na superfície e, fora da esfera, o campo é igual ao de uma carga pontual no centro, o potencial da superfície é
V_{\text{auto}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{R}.
  • Princípio da superposição: o potencial total em um ponto é soma dos potenciais de cada carga/condutor independentemente; portanto o potencial de cada esfera é soma do potencial devido à sua própria carga mais o potencial devido à outra esfera.
  • Aproximação válida para d\gg a,b: podemos tratar cada esfera, para efeitos de cálculo do potencial na sua superfície, como se toda a carga estivesse concentrada no seu centro e a outra esfera como uma carga pontual localizada a distância d (daí usamos \frac{1}{d} para contribuição mútua).

Passo 3

Aplicando a ideia de superposição e a aproximação de cargas puntiformes nos centros das esferas:
Potencial da esfera 1 (raio a, carga +Q):
  • Contribuição da própria carga (auto-potencial): \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{a}.
  • Contribuição da esfera 2 (carga -Q localizada aproximadamente no centro a distância d): \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{-Q}{d}.
    Somando,
V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{d}\right).
Expliquei: aqui usei que a esfera 2 dá um potencial -Q/(4\pi\epsilon_0 d) sobre a superfície da esfera 1, porque estamos a distância aproximadamente d entre centros e d\gg a faz essa aproximação boa.

Passo 4

Potencial da esfera 2 (raio b, carga -Q):
  • Contribuição da própria carga: \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{-Q}{b}.
  • Contribuição da esfera 1 (carga +Q à distância d): \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{d}.
    Somando,
V_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{Q}{b}+\frac{Q}{d}\right).
Novamente, isso vem da superposição e da aproximação ponto-carga para cada esfera.

Passo 5

Calcular a diferença de potencial entre as esferas:
\Delta V = V_1 - V_2.
Substituindo V_1 e V_2 obtidos acima:
\Delta V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{d}\right) - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{Q}{b}+\frac{Q}{d}\right).
Agora vamos agrupar termos cuidadosamente. Colocando o fator comum \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} e fator Q:
\Delta V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{d}+\frac{1}{b}-\frac{1}{d}\right).
Somando os termos dentro dos parênteses:
\Delta V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{d}\right).
Expliquei passo a passo como cada termo aparece e somei os -1/d vindos de V_1 e de V_2.

Passo 6

Usar a definição de capacitância C=Q/\Delta V. Substituindo \Delta V obtido:
C=\frac{Q}{\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,Q\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{d}\right)}.
Cancelando Q no numerador e denominador:
C=\frac{4\pi\epsilon_0}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{d}}.
Isso é exatamente a expressão pedida no item (a).

Passo 7

Agora tratamos o item (b): tomar o limite d\to\infty na expressão encontrada. Observe a expressão de C:
C(d)=\frac{4\pi\epsilon_0}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{d}}.
Quando d\rightarrow\infty, o termo \dfrac{2}{d}\rightarrow 0. Portanto
\lim_{d\to\infty} C(d)=\frac{4\pi\epsilon_0}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.

Passo 8

Interpretando o resultado do limite como dois capacitores esféricos em série:
  • Capacitância de uma esfera isolada de raio R relativamente ao infinito é C_{\text{esfera}}=4\pi\epsilon_0 R. Então para as duas esferas isoladas temos
C_a = 4\pi\epsilon_0 a,\qquad C_b=4\pi\epsilon_0 b.
  • A capacitância equivalente de dois capacitores em série satisfaz
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}.
Substituindo C_a e C_b,
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0 b}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right).
Invertendo:
C_{\text{eq}}=\frac{4\pi\epsilon_0}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}},
que coincide com \lim_{d\to\infty} C(d) encontrado no passo anterior. Assim mostramos que, quando d\to\infty, o sistema se comporta como duas esferas (cada uma com capacitância 4\pi\epsilon_0 vezes seu raio) em série.

Passo 9

Comentário final sobre validade (rápido e claro):
  • A dedução usa a aproximação de que cada esfera pode ser tratada como carga concentrada em seu centro para calcular o potencial na superfície da outra esfera; essa aproximação é válida porque assumimos d\gg a,b. Para distâncias não muito grandes comparadas aos raios, seriam necessários termos de ordem superior (imagens, desenvolvimento multipolar) e a fórmula acima perderia precisão.

Resposta

C=\frac{4 \pi \epsilon_{0}}{1 / a+1 / b-2 / d}
\lim_{d\to\infty}C=\frac{4\pi\epsilon_0}{1/a+1/b} \quad\text{(equivalente a }C_a\text{ e }C_b\text{ em série, com }C_a=4\pi\epsilon_0 a,\;C_b=4\pi\epsilon_0 b\text{)}é

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