En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función rho: U subseteq R^3 R dada sobre la superficie indicada
p(x, y ; z)=y, sobre K=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2=1, x >= 0, z >= 0

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para calcular a integral de superfície da função $ p(x, y, z) = y $ sobre uma parte específica da esfera unitária. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Integrais de Superfície, e para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície $ K $. Ela é definida pela equação $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $, que é a equação de uma esfera de raio 1. Além disso, temos as restrições $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $, então estamos trabalhando apenas com o oitante onde $ x $ e $ z $ são não-negativos.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis para trabalhar com esferas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
x = sinphi costheta
y = sinphi sintheta
z = cosphi
onde $ \phi $ é o ângulo polar (0 a $ \frac{\pi}{2} $ no nosso caso, já que $ z \geq 0 $) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (0 a $ \frac{\pi}{2} $, pois $ x \geq 0 $).

Passo 4

A fórmula da integral de superfície em coordenadas esféricas é:
integral duplaK p(x, y, z) , dS = integral0^pi2 integral0^pi2 p(phi, theta) , R^2 sinphi , dtheta , dphi
Aqui, $ R = 1 $ (raio da esfera), então a expressão simplifica para:
R = 1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
sinphi sintheta cdot sinphi = sin^2phi sintheta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 sin^2phi sintheta , dtheta , dphi

Passo 6

Vamos integrar em relação a $ \theta $ primeiro:
theta
Então, a integral se reduz a:
integral0^pi2 sintheta , dtheta = -costheta gr|0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1

Passo 7

Para integrar $ \sin^2\phi $, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2phi
Então, a integral fica:
sin^2phi = 1 - cos(2phi)2

Passo 8

Calculando as integrais separadamente:
12 integral0^pi2 1 , dphi = 12 [ phi ]0^pi2 = 12 cdot pi2 = pi4
12 integral0^pi2 cos(2phi) , dphi = 12 cdot sin(2phi)2 gr|0^pi2 = 14 [ sin(pi) - sin(0) ] = 0

Passo 9

Somando os resultados:
pi4 - 0 = pi4

Resposta

A integral de superfície é igual a $ \frac{\pi}{4} $.

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