En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función
dada sobre la superficie indicada
, sobre
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para calcular a integral de superfície da função $ p(x, y, z) = y $ sobre uma parte específica da esfera unitária. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Integrais de Superfície, e para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície $ K $. Ela é definida pela equação $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $, que é a equação de uma esfera de raio 1. Além disso, temos as restrições $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $, então estamos trabalhando apenas com o oitante onde $ x $ e $ z $ são não-negativos.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis para trabalhar com esferas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
onde $ \phi $ é o ângulo polar (0 a $ \frac{\pi}{2} $ no nosso caso, já que $ z \geq 0 $) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (0 a $ \frac{\pi}{2} $, pois $ x \geq 0 $).
Passo 4
A fórmula da integral de superfície em coordenadas esféricas é:
Aqui, $ R = 1 $ (raio da esfera), então a expressão simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a $ \theta $ primeiro:
Então, a integral se reduz a:
Passo 7
Para integrar $ \sin^2\phi $, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando as integrais separadamente:
Passo 9
Somando os resultados:
Resposta
A integral de superfície é igual a $ \frac{\pi}{4} $.