Calcule uma equação para a reta normal ao gráfico de y=e^tgh(3 x) em x=0 e determine a intersecção dessa reta com o eixo- x.
(b) Usando o Teorema de Rolle, mostre que a função f(x)=senh(x) não pode possuir mais de uma raiz real.

Passo 1

O problema tem duas partes. Na parte (a) precisamos encontrar a reta normal ao gráfico de
y = e^tanh(3x)
no ponto de abscissa x=0 e, em seguida, achar onde essa reta corta o eixo- x. Na parte (b) devemos usar o Teorema de Rolle para mostrar que a função
f(x)=sinh(x)
não pode ter mais de uma raiz real.

Passo 2

Primeiro obtemos o ponto e a derivada em .
A função é , logo
Em temos e , então

Passo 3

A reta tangente em x=0 tem coeficiente angular mrm tan=3, logo a reta normal tem coeficiente
mrm nor=-1mrm tan=-13
Usando a fórmula ponto-inclinação em (0,1), a reta normal é
y-1 = -tfrac13,x
Para achar a interseção com o eixo- x colocamos y=0:
-1 = -tfrac13,x Longrightarrow x=3
Portanto, o ponto de interseção é (3,0).

Passo 4

Agora a parte (b). Suponha, por contradição, que sinh(x) tivesse duas raízes reais distintas a<b. Então f(a)=0=f(b). Como f é contínua e derivável, o Teorema de Rolle garante um cin(a,b) tal que
f'(c)=0
Porém
f'(x)=cosh(x)>0
para todo x, nunca é zero. Isso é a contradição que mostra que não existem duas raízes distintas.

Resposta

(a) A reta normal é
y-1 = -13x,
e corta o eixo- x em (3,0).
(b) Como f'(x)=cosh(x)>0, não há ponto em que f'(x)=0, impedindo a aplicação de Rolle em dois zeros distintos; logo sinh(x) tem, no máximo, uma raiz real.

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