Calcule uma equação para a reta normal ao gráfico de
em
e determine a intersecção dessa reta com o eixo-
.
(b) Usando o Teorema de Rolle, mostre que a função
não pode possuir mais de uma raiz real.
(b) Usando o Teorema de Rolle, mostre que a função
Passo 1
O problema tem duas partes. Na parte (a) precisamos encontrar a reta normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
e, em seguida, achar onde essa reta corta o eixo-
. Na parte (b) devemos usar o Teorema de Rolle para mostrar que a função
não pode ter mais de uma raiz real.
Passo 2
Primeiro obtemos o ponto e a derivada em
.
A função é , logo
A função é
Em
temos
e , então
Passo 3
A reta tangente em
tem coeficiente angular
, logo a reta normal tem coeficiente
Usando a fórmula ponto-inclinação em
, a reta normal é
Para achar a interseção com o eixo-
colocamos
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora a parte (b). Suponha, por contradição, que
tivesse duas raízes reais distintas
. Então
. Como
é contínua e derivável, o Teorema de Rolle garante um
tal que
Porém
para todo
, nunca é zero. Isso é a contradição que mostra que não existem duas raízes distintas.
Resposta
(a) A reta normal é
e corta o eixo-
em
.
(b) Como , não há ponto em que
, impedindo a aplicação de Rolle em dois zeros distintos; logo
tem, no máximo, uma raiz real.
(b) Como