Verifique se as funções são contínuas no ponto P dado.
f(x, y)=clcx^3-x y^2x^2+y^2 ; & (x, y) neq & (0,0) 0 ; & (x, y)= & 0, P=(0,0) ;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= x^3-x y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em P=(0,0).
Para isso, vamos calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparar com f(0,0)=0.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) podemos fatorar o numerador:
x^3-x y^2=x,(x^2-y^2),
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f(x,y) =x,(x^2-y^2)x^2+y^2

Passo 3

Use coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar). Então
x^2+y^2=r^2, x^2-y^2=r^2(cos^2theta-sin^2theta)=r^2cos2theta,
e
x=rcostheta
Substituindo em f obtemos
f(r,theta) =rcostheta;l(r^2cos2thetar)r^2 = r,costheta,cos2theta
Como l|costheta,cos2thetar|<=1, segue
l|f(r,theta)r|<= r,
e portanto
limrto0f(r,theta)=0

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em P=(0,0).

Resposta

A função f é contínua em P=(0,0).

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