1. Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais da curva
y=x^3+2 x^2+x(x^2+4 x+3)(x^2-9)

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da curva
y=x^3+2x^2+xl(x^2+4x+3r)l(x^2-9r)
Conteúdo: para funções racionais, as assíntotas verticais surgem em pólos (raízes do denominador não removíveis) e a assíntota horizontal vem do comportamento de y quando xtopminfty, comparando o grau do numerador e do denominador.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador.
Numerador:
x^3+2x^2+x = x,(x^2+2x+1) = x,(x+1)^2
Denominador:
(x^2+4x+3)(x^2-9) = (x+1)(x+3),(x-3)(x+3) = (x+1)(x+3)^2(x-3)

Passo 3

Simplificamos um fator comum (x+1):
y = x,(x+1)^2(x+1)(x+3)^2(x-3) = x,(x+1)(x+3)^2(x-3),
desde que xneq -1,-3,3. Como em x=-1 tanto numerador quanto denominador zeram antes da simplificação, ali há uma descontinuidade removível (buraco), e não assíntota vertical.

Passo 4

Os valores em que o denominador simplificado se anula sem fator compensador são
x+3=0implies x=-3, x-3=0implies x=3
Nesses pontos a função diverge, gerando assíntotas verticais em
x=-3 e x=3

Passo 5

Para a assíntota horizontal, comparamos os graus: após simplificar, o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3. Logo, para xtopminfty,
ysimconstcdot x^2constcdot x^3=1xto0
Portanto há uma assíntota horizontal
y=0

Resposta

Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
Assíntota horizontal: y=0.

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