Calcule a equação da reta tangente ao curva (dada pela função) no ponto indicado:
y=tan (x) nos pontos dados por x=-pi3, x=0 e x=pi3,

Passo 1

Temos a função y = tan(x) e queremos encontrar a equação da reta tangente nos pontos dados. Para isso, vamos precisar da derivada de tan(x) e da fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0), onde m = y'(x0).

Passo 2

A derivada de y = tan(x) é dada por y' = sec^2(x). Assim, a inclinação da reta tangente num ponto x0 é m = sec^2(x0).

Passo 3

No ponto x0 = -pi3: calculamos m = sec^2l(-tfracpi3r) = l(tfrac1cos(-tfracpi3)r)^2 = l(tfrac11/2r)^2 = 4. O valor de y0 é y0 = tan(-tfracpi3) = -raiz3. Aplicando na fórmula da reta tangente,
y - (-raiz3) = 4l(x - (-tfracpi3)r)
temos y + raiz3 = 4(x + tfracpi3), ou seja,
y = 4x + tfrac4pi3 - raiz3.

Passo 4

No ponto x0 = 0: temos m = sec^2(0) = 1 e y0 = tan(0) = 0. Então
y - 0 = 1,(x - 0)
que dá
y = x.

Passo 5

No ponto x0 = tfracpi3: calculamos m = sec^2(tfracpi3) = 4 e y0 = tan(tfracpi3) = raiz3. A reta tangente é
y - raiz3 = 4l(x - tfracpi3r)
ou seja,
y = 4x - tfrac4pi3 + raiz3.

Resposta

Para x = -tfracpi3: y = 4x + tfrac4pi3 - raiz3; para x = 0: y = x; para x = tfracpi3: y = 4x - tfrac4pi3 + raiz3.

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