Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto
da curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar, numa curva parametrizada por
e no instante
: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar e a reta tangente à trajetória. O conteúdo envolve derivação de curvas no espaço, cálculo de norma de vetor e equação de reta paramétrica.
Passo 2
Para achar o vetor velocidade, usamos que ele é a derivada de
. Vamos derivar componente a componente: a derivada de
dá
, a de
dá
e a de
dá
. Logo,
Passo 3
O vetor aceleração é a derivada de
. Derivando cada componente de
:
Passo 4
Agora avaliamos
e
no instante
. Note que
,
. Logo:
Passo 5
A velocidade escalar é a norma de
. Calculamos:
Passo 6
Para a reta tangente, precisamos do ponto
e da direção dada por
. O ponto é
Passo 7
Assim, a equação paramétrica da reta tangente é
Resposta
Vetor velocidade em
:
; vetor aceleração em
:
; velocidade escalar:
; reta tangente:
$$r(u)=\Bigl(\tfrac{3\sqrt2}{2},;\tfrac{3\sqrt2}{2},;\pi\Bigr)+u,(-3\sqrt2,;3\sqrt2,;8).
$$