Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto sigma(t1) da curva parametrizada por
sigma(t)=(3 cos 2 t, 3 sen 2 t, 8 t), t1=pi8.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar, numa curva parametrizada por sigma(t)=(3cos2t,;3sin2t,;8t) e no instante t1=pi/8: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar e a reta tangente à trajetória. O conteúdo envolve derivação de curvas no espaço, cálculo de norma de vetor e equação de reta paramétrica.

Passo 2

Para achar o vetor velocidade, usamos que ele é a derivada de sigma(t). Vamos derivar componente a componente: a derivada de 3cos2t -6sin2t, a de 3sin2t 6cos2t e a de 8t 8. Logo,
v(t)=sigma'(t)=(-6sin2t,;6cos2t,;8)

Passo 3

O vetor aceleração é a derivada de v(t). Derivando cada componente de v(t):
a(t)=v'(t)=(-12cos2t,;-12sin2t,;0)

Passo 4

Agora avaliamos v(t) e a(t) no instante t1=pi/8. Note que 2t1=pi/4, sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22. Logo:
vl(tfracpi8r)=(-6cdottfracraiz22,;6cdottfracraiz22,;8)=(-3raiz2,;3raiz2,;8),
al(tfracpi8r)=(-12cdottfracraiz22,;-12cdottfracraiz22,;0)=(-6raiz2,;-6raiz2,;0)

Passo 5

A velocidade escalar é a norma de v(t1). Calculamos:
|v(tfracpi8)|=raiz(-3raiz2)^2+(3raiz2)^2+8^2=raiz18+18+64=raiz100=10

Passo 6

Para a reta tangente, precisamos do ponto sigma(t1) e da direção dada por v(t1). O ponto é
sigmal(tfracpi8r)=l(3costfracpi4,;3sintfracpi4,;8cdottfracpi8r)=l(tfrac3raiz22,;tfrac3raiz22,;pir)

Passo 7

Assim, a equação paramétrica da reta tangente é
r(u)=l(tfrac3raiz22,;tfrac3raiz22,;pir)+u,(-3raiz2,;3raiz2,;8)

Resposta

Vetor velocidade em t1: (-3raiz2,;3raiz2,;8); vetor aceleração em t1: (-6raiz2,;-6raiz2,;0); velocidade escalar: 10; reta tangente:
$$r(u)=\Bigl(\tfrac{3\sqrt2}{2},;\tfrac{3\sqrt2}{2},;\pi\Bigr)+u,(-3\sqrt2,;3\sqrt2,;8).
$$

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