Use apenas a definição de derivada para resolver este problema:
Se g(x)=x^3+e^x calcule g^prime(x) e d g(x), onde x é um ponto qualquer no domínio de g.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de g(x)=x^3+e^x usando somente a definição de derivada (limite do quociente de diferenças) e, em seguida, obter o diferencial dg(x). Vamos usar a definição

Passo 2

Pelo conceito,
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h

Passo 3

Calculando g(x+h):
g(x+h)=(x+h)^3+e^x+h=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+e^x e^h

Passo 4

Logo,
g(x+h)-g(x)h=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+e^x e^h-(x^3+e^x)h =3x^2+3xh+h^2+e^xe^h-1h

Passo 5

Fazendo o limite hto0, sabemos que limhto0(e^h-1)/h=1. Assim:
g'(x)=3x^2+e^x

Passo 6

O diferencial de g em x é dado por dg(x)=g'(x),dx, ou seja:
dg(x)=(3x^2+e^x),dx

Resposta

g’(x)=3x2+ex e dg(x)=(3x2+ex),dx

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