Calcule a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
f(x)=3 x^3-x, no ponto x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva f(x)=3x^3 - x no ponto em que x=0. Para isso, precisamos 1) calcular o valor da função em x=0 para achar o ponto (x0,y0) e 2) obter a derivada f'(x) e avaliá-la em x=0 para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência e a inclinação:
A função em x=0 vale
f(0)=3cdot0^3 - 0 = 0,
logo o ponto é (x0,y0)=(0,0).
A derivada de f é
f'(x)=ddx(3x^3 - x)=9x^2 - 1
Avaliar em x=0:
f'(0)=9cdot0^2 - 1 = -1
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=-1.

Passo 3

Usar a fórmula ponto-inclinação para a reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo x0=0, y0=0 e m=-1:
y - 0 = -1,(x - 0) Longrightarrow y = -x

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -x

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