Resolva:
2 x cos (y)+4 x^3+x^2 sen(y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2xcos(y)+4x^3+x^2sin(y),y'=0
e pede a solução geral. O conteúdo é equações exatas e fator integrante. Vamos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e procurar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Colocando num diferencial total temos
M(x,y)=2xcos(y)+4x^3, N(x,y)=x^2sin(y),
de modo que a equação é
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0

Passo 3

Verificamos se é exata calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y =-2xsin(y), partial Npartial x =2xsin(y)
Elas não coincidem, mas
partial Mpartial y-partial Npartial xN =-2xsin(y)-2xsin(y)x^2sin(y) =-4x,
que depende só de x. Logo há um fator integrante mu(x) dado por
mu(x)=expl(integral -tfrac4x,dxr) =exp(-4ln|x|) = x^-4

Passo 4

Multiplicando a equação original por x^-4 obtemos
M^*,dx + N^*,dy=0, M^*=2x^-3cos(y)+4x^-1, N^*=x^-2sin(y),
e agora
partial M^*partial y =-2x^-3sin(y), partial N^*partial x =-2x^-3sin(y),
logo é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M^*, partial psipartial y=N^*
Integramos M^* em x:
psi(x,y) =integrall(2x^-3cos(y)+4x^-1r),dx =-x^-2cos(y)+4ln|x|+h(y)
Derivando em y e igualando a N^*
partial psipartial y =x^-2sin(y)+h'(y) overset!=x^-2sin(y) Rightarrow h'(y)=0,
ou seja h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y)=C Longrightarrow -,cos(y)x^2+4ln|x|=C
Podemos reescrever de forma equivalente como
cos(y)=x^2l(C+4ln|x|r)

Resposta

-,cos(y)x^2+4ln|x|=C,
ou, de forma explícita,
cos(y)=x^2l(C+4ln|x|r),
onde C é constante de integração.

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