Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. O conteúdo é equações exatas e fator integrante. Vamos escrever na forma
e procurar um fator integrante em função de
.
Passo 2
Colocando num diferencial total temos
de modo que a equação é
Passo 3
Verificamos se é exata calculando as derivadas parciais:
Elas não coincidem, mas
que depende só de
. Logo há um fator integrante
dado por
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
e agora
logo é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
dá
ou seja
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
Podemos reescrever de forma equivalente como
Resposta
ou, de forma explícita,
onde
é constante de integração.