Resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a sua solução geral. Aqui vamos usar a ideia de verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa só de
, verificamos
Isso depende apenas de
, logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Chamando
verificamos
logo a nova equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
logo
e
é constante.
Passo 6
A solução implícita geral vem de
ou seja