Resolva:
(3 x y+y^2) d x+(x^2+x y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(3xy + y^2),dx + (x^2 + xy),dy = 0
e pede a sua solução geral. Aqui vamos usar a ideia de verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3xy + y^2, N(x,y) = x^2 + xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 3x + 2y, partial Npartial x = 2x + y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu que dependa só de x, verificamos
partial Mpartial y - partial Npartial xN = (3x+2y)-(2x+y)x^2+xy = x+yx(x+y) = 1x
Isso depende apenas de x, logo
mu(x) = exp!l(integral 1x,dxr) = x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x, obtendo
l(3x^2y + xy^2r),dx + l(x^3 + x^2yr),dy = 0
Chamando
widetilde M = 3x^2y + xy^2, widetilde N = x^3 + x^2y,
verificamos
partial widetilde Mpartial y = 3x^2 + 2xy, partial widetilde Npartial x = 3x^2 + 2xy,
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x = widetilde M = 3x^2y + xy^2
Integramos em x:
phi(x,y) = integral(3x^2y + xy^2),dx = x^3y + x^2y^22 + h(y)
Agora impomos
partial phipartial y = x^3 + x^2y + h'(y) stackrel!=widetilde N = x^3 + x^2y,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita geral vem de
phi(x,y) = C,
ou seja
x^3y + x^2y^22 = C

Resposta

x^3y + x^2y^22 = C

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