Calcule a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
f(x)=5 e^x, no ponto x=ln 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=5e^x
e pede a reta tangente a essa curva no ponto de abscissa x0=ln 2. Para encontrar essa reta, precisamos de (1)​ o valor de f(x0) e (2)​ o valor da derivada f'(x0), pois a fórmula ponto‐inclinação é
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Calcular a derivada de f. Como a derivada de e^x é e^x, por regra da cadeia e fator constante temos
f'(x)=5e^x

Passo 3

Avaliar a derivada em x0=ln 2:
f'(ln 2)=5e^ln 2=5cdot 2=10
Logo, a inclinação da tangente é m=10.

Passo 4

Avaliar a função em x0=ln 2:
f(ln 2)=5e^ln 2=5cdot 2=10
O ponto de tangência é l(ln 2,,10r).

Passo 5

Aplicar a fórmula ponto‐inclinação:
y-10=10l(x-ln 2r)
Se quisermos colocar em forma explícita y=mx+b, expandimos:
y-10=10x-10ln 2 Longrightarrow y=10x+10-10ln 2 Longrightarrow y=10x+10l(1-ln 2r)

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy-10=10l(x-ln 2r)
ou equivalentemente
boxedy=10x+10l(1-ln 2r)

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