Use o método de Frobenius para obter a solução das equações diferenciais abaixo
2 x^2 y^prime prime+7 x(x+1) y^prime-3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o método de Frobenius para resolver
2x^2y''+7x(x+1)y'-3y=0
em torno de x=0. Esse é um ponto singular regular, então assumimos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r,
e vamos determinar o expoente r (equação indicial) e a relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
Dividindo por 2x^2 temos
y''+7(x+1)2x,y'-32x^2,y=0,
ou seja
P(x)=72,x^-1+72, Q(x)=-32,x^-2

Passo 3

A equação indicial é
r(r-1)+p-1,r+q-2=0,
onde p-1=7/2 e q-2=-3/2. Logo
r(r-1)+72r-32=0 ;;Longrightarrow;; 2r^2+5r-3=0 ;;Longrightarrow;; r=-5pm74
e obtemos
r1=tfrac12, r2=-3

Passo 4

Para a série colocamos
y=sumn=0^infty an x^n+r, y'=sumn=0^infty an(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2
Inserindo na equação original e igualando o coeficiente de x^n+r a zero dá, para n>=1,
anl[2(n+r)^2+5(n+r)-3r]+7,(n+r-1),an-1=0,
isto é, a relação de recorrência geral
an=-7,(n+r-1)2(n+r)^2+5(n+r)-3;an-1

Passo 5

Para r1=tfrac12 o denominador fatora como
2l(n+tfrac12r)^2+5l(n+tfrac12r)-3 = n,(2n+7),
e a recorrência fica
an=-7,(n-tfrac12)n,(2n+7),an-1 =-7(2n-1)2n(2n+7),an-1
Com a0 livre, a solução é
y1(x)=x^1/2sumn=0^infty an,x^n,
com an dado acima (por exemplo a1=-tfrac718a0, a2=tfrac49264a0, etc.).

Passo 6

Para r2=-3 o denominador fatora como
2(n-3)^2+5(n-3)-3= n,(2n-7),
e a recorrência é
an=-7,(n-4)n,(2n-7),an-1
Escolhendo a0 livre, obtém-se
y2(x)=x^-3sumn=0^infty tilde an,x^n,
com tilde an dado pela recorrência acima (por exemplo tilde a1=-tfrac7(-3)1cdot(-5)tilde a0=tfrac215tilde a0, etc.).

Resposta

A solução geral ao redor de x=0 é
boxed y(x)=C1,x^1/2sumn=0^infty an,x^n ;+; C2,x^-3sumn=0^infty tilde an,x^n,
onde os coeficientes an e tilde an satisfazem as recorrências
an=-7(2n-1)2n(2n+7),an-1, tilde an=-7(n-4)n(2n-7),tilde an-1,
com a0,tilde a0 constantes arbitrárias.

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