Calcule
(1,5) uma equação da reta tangente à curva raizx+raizy=4y^3 no ponto (9,1)\Para obter o declive, derivamos implicitamente com respeito a x\ 12 raizx+12 raizy y^prime & =-12y^4 y^prime (12 raizy+12y^4) y^prime & =-12 raizx\Para y=1, x=9,(1 / 2+12) y^prime=-1 / 6, donde y^prime=-1 / 75 e a reta pretendida é y-1=-1 / 75(x-9)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
raizx + raizy = 4y^3
no ponto (9,1). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter o declive y' em função de x e y, e depois avaliar em (9,1).

Passo 2

Derivando ambos os lados da relação em função de x, usando ddxl(raizxr)=12raizx e a regra da cadeia em raizy e em y^-3, obtemos
12raizx ;+;12raizy,y' ;=;-,ddxl(4,y^-3r) ;=;-,4cdot(-3),y^-4,y' ;=;-,12y^4,y'

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' num mesmo lado, vem
12raizx ;+;l(12raizy + 12y^4r),y' ;=;0 Longrightarrow l(12raizy + 12y^4r),y' ;=;-,12raizx

Passo 4

Avaliaremos em x=9 e y=1. Primeiro o coeficiente de y':
12raiz1 + 121^4 = 12 + 12 = 1 + 242 = 252
Logo
y' ;=; -,tfrac12raiz9tfrac252 ;=; -,tfrac12cdot3tfrac252 ;=; -,tfrac16tfrac252 ;=; -,16,cdot225 ;=; -,175

Passo 5

Com o declive m = -tfrac175 e o ponto (9,1), a equação da reta tangente em forma ponto-declive é
y - 1 = -175,(x - 9)

Resposta

y - 1 = -175,(x - 9)

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