Questão 1 (2 pontos) Resolva o PVI e determine o intervalo máximo de definição da solução da EDO
y^prime+2x y=x^3 y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y' + 2x,y = x^3, y(1) = -1
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
x^2 y' + 2x,y = (x^2 y)' = x^2cdot x^3 = x^5
Agora integramos ambos os lados em x:
x^2 y = integral x^5,dx = x^66 + C

Passo 4

Isolando y e aplicando a condição inicial:
y(x) = x^66+Cx^2 = x^46 + C,x^-2,
e como y(1)=-1, temos
-1 = 16 + C Longrightarrow C = -76

Passo 5

Portanto, a solução geral do PVI é
y(x) = x^46 - 76,x^-2
Como o termo tfrac2x é singular em x=0, o intervalo máximo de definição que contém x=1 é
(0,infty)

Resposta

y(x) = x^46 - 76,x^-2, xin(0,infty)

Exercícios relacionados