Verifique quais os intervalos reais em que a função é diferenciável. Use a definição de derivada para calcular f^prime(x).
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que
f(x)=l|x^2-4r|
é diferenciável, usando a definição de derivada. O conteúdo envolve funções definidas por valor absoluto, que costumam ser tratadas como funções por partes, e a análise dos limites laterais da diferença quociente nos pontos de quebra.
Passo 2
Primeiro expressamos f sem o valor absoluto, dividindo em dois casos conforme o sinal de x^2-4:
Falta verificar x=2 e x=-2 pela definição, comparando derivadas laterais.
Em x=2: f(2)=l|2^2-4r|=0 Lado esquerdo (hto0^-): para 2+h<2 usamos 4-(2+h)^2, então f'(2^-)=limhto0^-l(4-(2+h)^2r)-0h =limhto0^--4h - h^2h=-2cdot 2=-4 Lado direito (hto0^+): para 2+h>2 usamos (2+h)^2-4, então f'(2^+)=limhto0^+l((2+h)^2-4r)-0h =limhto0^+4h + h^2h=2cdot2=4 Como -4neq4, não existe f'(2).
Em x=-2 faz-se idêntico: f'(-2^-)=2(-2)=-4, f'(-2^+)= -2(-2)=4, logo também não existe f'(-2).