1. Verifique quais os intervalos reais em que a função f(x)=|x^2-4| é diferenciável. Use a definição de derivada para calcular f^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que
f(x)=l|x^2-4r|
é diferenciável, usando a definição de derivada. O conteúdo envolve funções definidas por valor absoluto, que costumam ser tratadas como funções por partes, e a análise dos limites laterais da diferença quociente nos pontos de quebra.

Passo 2

Primeiro expressamos f sem o valor absoluto, dividindo em dois casos conforme o sinal de x^2-4:
f(x)= x^2-4, &se x^2-4>= 0(lvert xrvert>= 2), -(x^2-4)=4 - x^2, &se x^2-4<0(lvert xrvert<2)

Passo 3

Para pontos onde lvert xrvert>2 ou lvert xrvert<2, f coincide com um polinômio numa vizinhança de x, então a derivada é a derivada usual do polinômio:
  • Se lvert xrvert>2, então f(x)=x^2-4 e
f'(x)=limhto0(x+h)^2-4 - (x^2-4)h =limhto02xh+h^2h=2x
  • Se lvert xrvert<2, então f(x)=4-x^2 e
f'(x)=limhto04-(x+h)^2 - l(4-x^2r)h =limhto0-2xh - h^2h=-2x

Passo 4

Falta verificar x=2 e x=-2 pela definição, comparando derivadas laterais.
  • Em x=2: f(2)=l|2^2-4r|=0 Lado esquerdo ( hto0^-): para 2+h<2 usamos 4-(2+h)^2, então f'(2^-)=limhto0^-l(4-(2+h)^2r)-0h =limhto0^--4h - h^2h=-2cdot 2=-4 Lado direito ( hto0^+): para 2+h>2 usamos (2+h)^2-4, então f'(2^+)=limhto0^+l((2+h)^2-4r)-0h =limhto0^+4h + h^2h=2cdot2=4 Como -4neq4, não existe f'(2).
  • Em x=-2 faz-se idêntico: f'(-2^-)=2(-2)=-4, f'(-2^+)= -2(-2)=4, logo também não existe f'(-2).

Resposta

A derivada é
f'(x)= 2x, &se lvert xrvert>2, -2x, &se lvert xrvert<2,
e não existe em x=2 nem em x=-2. Portanto f é diferenciável exatamente nos intervalos
(-infty,-2),;(-2,2);e;(2,infty)

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